вправа 11.44 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 11.44
Умова:
Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає його основу по хорді, яка стягує дугу міри γ. Діагональ перерізу дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом α. Знайдіть об'єм циліндра.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСD - переріз паралельний
осі ОО1 циліндра, ∠АОВ = γ,
АС = d, ∠САВ = d.
Знайдемо V - об'єм циліндра.
Із ΔАСВ (∠АВС = 90°)
СВ = АСsin∠САВ = dsinα - висота
АВ = АСcos∠САВ = dcosα
ΔАОВ - рівнобедрений так, як
ОА = ОВ = R - радіус основи циліндра.
Тоді \begin{equation} AO=\frac{AB}{2sin\frac{\gamma }{2}}=\frac{dcos\alpha }{2sin\frac{\gamma
}{2}} \end{equation} Отже
V = πR2h = πR2СВ = \begin{equation} =\Pi \frac{d^{2}cos^{2}\alpha }{4sin^{2}\frac{\gamma }{2}}\cdot dsin
\alpha = \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi d^{3}cos^{2}\alpha sin\alpha }{4sin^{2}\frac{\gamma }{2}}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\Pi d^{3}cos^{2}\alpha sin\alpha }{4sin^{2}\frac{\gamma }{2}} \end{equation}
Нехай АВСD - переріз паралельний
осі ОО1 циліндра, ∠АОВ = γ,
АС = d, ∠САВ = d.
Знайдемо V - об'єм циліндра.
Із ΔАСВ (∠АВС = 90°)
СВ = АСsin∠САВ = dsinα - висота
АВ = АСcos∠САВ = dcosα
ΔАОВ - рівнобедрений так, як
ОА = ОВ = R - радіус основи циліндра.
Тоді \begin{equation} AO=\frac{AB}{2sin\frac{\gamma }{2}}=\frac{dcos\alpha }{2sin\frac{\gamma
}{2}} \end{equation} Отже
V = πR2h = πR2СВ = \begin{equation} =\Pi \frac{d^{2}cos^{2}\alpha }{4sin^{2}\frac{\gamma }{2}}\cdot dsin
\alpha = \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi d^{3}cos^{2}\alpha sin\alpha }{4sin^{2}\frac{\gamma }{2}}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\Pi d^{3}cos^{2}\alpha sin\alpha }{4sin^{2}\frac{\gamma }{2}} \end{equation}