вправа 11.46 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 11.46
Умова:
Площа осьового перерізу циліндра дорівнює Q. Діагональ перерізу утворює кут β із твірною. Знайдіть об'єм циліндра.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСD - осьовий переріз циліндра,
SАВСD = Q - площа перерізу
∠АСВ = бетта.
Знайдемо V - об'єм циліндра.
Нехай h = СВ - висота циліндра.
Із ΔАВС (∠АВС = 90°)
АВ - СВtg∠АСВ = htgβ.
Тоді площа перерізу
SАВСD = АВ • СВ = htgβ • h = h2tgβ,
за умовою SАВСD = а, тоді
h2tgβ = Q, звідки \begin{equation} h=\sqrt{}\frac{Q}{tg\beta }. \end{equation} Отже, \begin{equation} AB=\sqrt{}\frac{Q}{tg\beta }\cdot tg\beta =\sqrt{Qtg\beta } \end{equation} \begin{equation} R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{Qtg\beta }- \end{equation} радіус основи циліндра.
Тоді
V = πR2h = \begin{equation} =\Pi (\frac{1}{2}\sqrt{Qtg\beta })^{2}\cdot \sqrt{\frac{Q}{tg\beta }}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi Q}{4}\sqrt{Qtg\beta }- \end{equation} об'єм циліндра.
Відповідь: \begin{equation} \frac{\Pi Q}{4}\sqrt{Qtg\beta } \end{equation}
Нехай АВСD - осьовий переріз циліндра,
SАВСD = Q - площа перерізу
∠АСВ = бетта.
Знайдемо V - об'єм циліндра.
Нехай h = СВ - висота циліндра.
Із ΔАВС (∠АВС = 90°)
АВ - СВtg∠АСВ = htgβ.
Тоді площа перерізу
SАВСD = АВ • СВ = htgβ • h = h2tgβ,
за умовою SАВСD = а, тоді
h2tgβ = Q, звідки \begin{equation} h=\sqrt{}\frac{Q}{tg\beta }. \end{equation} Отже, \begin{equation} AB=\sqrt{}\frac{Q}{tg\beta }\cdot tg\beta =\sqrt{Qtg\beta } \end{equation} \begin{equation} R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{Qtg\beta }- \end{equation} радіус основи циліндра.
Тоді
V = πR2h = \begin{equation} =\Pi (\frac{1}{2}\sqrt{Qtg\beta })^{2}\cdot \sqrt{\frac{Q}{tg\beta }}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi Q}{4}\sqrt{Qtg\beta }- \end{equation} об'єм циліндра.
Відповідь: \begin{equation} \frac{\Pi Q}{4}\sqrt{Qtg\beta } \end{equation}