вправа 12.38 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 12.38
Умова:
Площа осьового перерізу конуса дорівнює 60 см2, а твірна - 13 см. Знайдіть об'єм конуса.
Відповідь ГДЗ:
Нехай ΔАВQ - осьовий переріз конуса,
SΔАВQ = 60 см2, АQ = 13 см.
Знайдемо V - об'єм конуса. \begin{equation} S_{AQB}=\frac{1}{2}AQ\cdot QBsin\angle AQB \end{equation} ΔАQВ - рівнобедрений, тому АQ = QВ \begin{equation} \frac{1}{2}13\cdot 13sin\angle AQB=60, \end{equation} звідки \begin{equation} sin\angle AQB=\frac{120}{169}, \end{equation} тоді cos∠АQВ = \begin{equation} =\sqrt{1-sin^{2}\angle AQB}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-(\frac{120}{169})^{2}}=\frac{119}{169}. \end{equation} Із ΔАQВ
АВ2 = АQ2 + QВ2 - 2АQ • QВcos∠АQВ \begin{equation} AB^{2}=13^{2}+13^{2}-2\cdot 13\cdot 13\cdot \frac{119}{169}=100, \end{equation} тоді АВ = 10 \begin{equation} AO=\frac{1}{2}AB = 5(CM)- \end{equation} радіус основи конуса.
Із ΔАQО (∠АОQ = 90°) \begin{equation} OQ=\sqrt{AQ^{2}-AO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{13^{2}-2^{2}}=12(CM) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO^{2}\cdot OQ= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot 5^{2}\cdot 12=100\Pi (CM^{3}). \end{equation} Відповідь: 100π см3
Нехай ΔАВQ - осьовий переріз конуса,
SΔАВQ = 60 см2, АQ = 13 см.
Знайдемо V - об'єм конуса. \begin{equation} S_{AQB}=\frac{1}{2}AQ\cdot QBsin\angle AQB \end{equation} ΔАQВ - рівнобедрений, тому АQ = QВ \begin{equation} \frac{1}{2}13\cdot 13sin\angle AQB=60, \end{equation} звідки \begin{equation} sin\angle AQB=\frac{120}{169}, \end{equation} тоді cos∠АQВ = \begin{equation} =\sqrt{1-sin^{2}\angle AQB}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-(\frac{120}{169})^{2}}=\frac{119}{169}. \end{equation} Із ΔАQВ
АВ2 = АQ2 + QВ2 - 2АQ • QВcos∠АQВ \begin{equation} AB^{2}=13^{2}+13^{2}-2\cdot 13\cdot 13\cdot \frac{119}{169}=100, \end{equation} тоді АВ = 10 \begin{equation} AO=\frac{1}{2}AB = 5(CM)- \end{equation} радіус основи конуса.
Із ΔАQО (∠АОQ = 90°) \begin{equation} OQ=\sqrt{AQ^{2}-AO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{13^{2}-2^{2}}=12(CM) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO^{2}\cdot OQ= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot 5^{2}\cdot 12=100\Pi (CM^{3}). \end{equation} Відповідь: 100π см3