вправа 12.41 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 12.41
Умова:
Навколо правильної чотирикутної піраміди описано конус і в піраміду вписано конус. Знайдіть відношення об'ємів цих конусів.
Відповідь ГДЗ:
Нехай навколо правильної чотирикутної піраміди
описано конус, радіус основи якого R і вписано
конус, радіус основи якого r.
Знайдемо Vопис : Vвпис - відношення об'ємів
описаного і вписаного конусів.
Позначимо а - сторона піраміди, тоді \begin{equation} R=\frac{a\sqrt{2}}{2},r=\frac{a}{2}- \end{equation} радіуси описаного і вписаного кіл.
Висота піраміди h збігається з
висотами конусів, тому \begin{equation} V_{O}=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi h\cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{6}\Pi ha^{2}; \end{equation} \begin{equation} V_{B}=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi h\cdot (\frac{a}{2})^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{12}\Pi ha^{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{O}}{V_{B}}=\frac{\frac{1}{6}\Pi a^{2}}{\frac{1}{12}\Pi ha^{2}}
=2 \end{equation} Отже, Vопис : Vвпис = 2 : 1.
Відповідь: 2 : 1
Нехай навколо правильної чотирикутної піраміди
описано конус, радіус основи якого R і вписано
конус, радіус основи якого r.
Знайдемо Vопис : Vвпис - відношення об'ємів
описаного і вписаного конусів.
Позначимо а - сторона піраміди, тоді \begin{equation} R=\frac{a\sqrt{2}}{2},r=\frac{a}{2}- \end{equation} радіуси описаного і вписаного кіл.
Висота піраміди h збігається з
висотами конусів, тому \begin{equation} V_{O}=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi h\cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{6}\Pi ha^{2}; \end{equation} \begin{equation} V_{B}=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi h\cdot (\frac{a}{2})^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{12}\Pi ha^{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{O}}{V_{B}}=\frac{\frac{1}{6}\Pi a^{2}}{\frac{1}{12}\Pi ha^{2}}
=2 \end{equation} Отже, Vопис : Vвпис = 2 : 1.
Відповідь: 2 : 1