вправа 12.43 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 12.43
Умова:
Знайдіть об'єм конуса, твірна якого утворює кут γ із площиною основи, а периметр осьового перерізу конуса дорівнює 2р.
Відповідь ГДЗ:
Нехай задано конус, Q - вершина,
QО - висота, QА - твірна, ΔАQВ - діагональний переріз,
∠QАВ = γ, РΔАQВ = 2р - периметр ΔАQВ.
Знайдемо V - об'єм конуса.
Позначимо QО = h, тоді із ΔQОА (∠QОА = 90°) \begin{equation} AQ=\frac{h}{sin\gamma },AO=\frac{h}{tg\gamma }, \end{equation} \begin{equation} QB=AQ=\frac{h}{sin\gamma }, \end{equation} \begin{equation} AB=2AO=\frac{2h}{tg\gamma }. \end{equation} \begin{equation} P_{\Delta AQB}=AQ+QB+AB= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2h}{sin\gamma }+\frac{2h}{tg\gamma }. \end{equation} За умовою РΔАQВ = 2р, тоді \begin{equation} \frac{2h}{sin\gamma }+\frac{2h}{tg\gamma }=2p, \end{equation} звідки \begin{equation} \frac{h}{sin\gamma }+\frac{h}{tg\gamma }=p, \end{equation} \begin{equation} h\frac{tg\gamma +sin\gamma }{sin\gamma \cdot tg\gamma }=p \end{equation} \begin{equation} h=\frac{p\cdot sin\gamma tg\gamma }{tg\gamma +sin\gamma } \end{equation} Тоді, АО = R = \begin{equation} =\frac{psin\gamma tg\gamma }{(tg\gamma +sin\gamma)tg\gamma }= \end{equation} \begin{equation} =\frac{psin\gamma}{(tg\gamma +sin\gamma)}- \end{equation} радіус основи конуса. \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi\frac{p^{2}sin^{2}\gamma }{(tg\gamma +sin\gamma )^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{psin\gamma tg\gamma }{(tg\gamma +sin\gamma )^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \frac{p^{3}sin^{3}\gamma tg^{3}\gamma }{(tg\gamma +sin
\gamma )^{3}}. \end{equation}
Нехай задано конус, Q - вершина,
QО - висота, QА - твірна, ΔАQВ - діагональний переріз,
∠QАВ = γ, РΔАQВ = 2р - периметр ΔАQВ.
Знайдемо V - об'єм конуса.
Позначимо QО = h, тоді із ΔQОА (∠QОА = 90°) \begin{equation} AQ=\frac{h}{sin\gamma },AO=\frac{h}{tg\gamma }, \end{equation} \begin{equation} QB=AQ=\frac{h}{sin\gamma }, \end{equation} \begin{equation} AB=2AO=\frac{2h}{tg\gamma }. \end{equation} \begin{equation} P_{\Delta AQB}=AQ+QB+AB= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2h}{sin\gamma }+\frac{2h}{tg\gamma }. \end{equation} За умовою РΔАQВ = 2р, тоді \begin{equation} \frac{2h}{sin\gamma }+\frac{2h}{tg\gamma }=2p, \end{equation} звідки \begin{equation} \frac{h}{sin\gamma }+\frac{h}{tg\gamma }=p, \end{equation} \begin{equation} h\frac{tg\gamma +sin\gamma }{sin\gamma \cdot tg\gamma }=p \end{equation} \begin{equation} h=\frac{p\cdot sin\gamma tg\gamma }{tg\gamma +sin\gamma } \end{equation} Тоді, АО = R = \begin{equation} =\frac{psin\gamma tg\gamma }{(tg\gamma +sin\gamma)tg\gamma }= \end{equation} \begin{equation} =\frac{psin\gamma}{(tg\gamma +sin\gamma)}- \end{equation} радіус основи конуса. \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi\frac{p^{2}sin^{2}\gamma }{(tg\gamma +sin\gamma )^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{psin\gamma tg\gamma }{(tg\gamma +sin\gamma )^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \frac{p^{3}sin^{3}\gamma tg^{3}\gamma }{(tg\gamma +sin
\gamma )^{3}}. \end{equation}