вправа 12.45 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 12.45
Умова:
Діагональ осьового перерізу зрізаного конуса перпендикулярна до його твірної і ділить навпіл гострий кут при основі перерізу. Знайдіть об'єм конуса, якщо його висота дорівнює 6√3 см.
Відповідь ГДЗ:
Нехай задано зрізаний конус,
АВСD - діагональний переріз ∠АВD = 90°,
ВD - бісектриса ∠АDС,
ОО1 = 6√3 см - висота конуса.
Знайдемо V - об'єм конуса.
Так, як ВD - бісектриса ∠АDС, то ∠АDВ = ∠ВDС.
АВСD - трапеція, тому АD║ВС,
отже, ∠СВD = ∠АDВ = ∠ВDС.
Тобто маємо, що ΔВСD - рівнобедрений,
звідси ВС = СD = АВ (АВ = СD так,
як АВСD - рівнобічна трапеція).
Позначимо АВ = х.
Проведемо ВК║ОО1, СN║ОО1,
тоді ВК = 6√3 см - висота трапеції та висота ΔАВD.
За умовою ∠АВD = 90°, тоді ΔАВD - прямокутний, отже \begin{equation} BK=\sqrt{AK\cdot KD} \end{equation} Із ΔАВК (∠АКВ = 90°) \begin{equation} AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{x^{2}-(6\sqrt{3})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{x^{2}-108} \end{equation} \begin{equation} ND=AK=\sqrt{x^{2}-108}, \end{equation} КN = ВС = АВ = х.
Тоді КD = КN + ND = \begin{equation} =x+\sqrt{x^{2}-108} \end{equation} Тоді ВК2 = АК • KD = \begin{equation} =\sqrt{x^{2}-108}\cdot (x+\sqrt{x^{2}-108}. \end{equation} Маємо рівняння: \begin{equation} \sqrt{x^{2}-108}(x+\sqrt{x^{2}-108}=(6\sqrt{3})^{2} \end{equation} \begin{equation} x\sqrt{x^{2}-108}+x^{2}-108=108 \end{equation} \begin{equation} x\sqrt{x^{2}-108}=216-x^{2} \end{equation} \begin{equation} (x\sqrt{x^{2}-108})^{2}= \end{equation} \begin{equation} =(216-x^{2})^{2} \end{equation} х2(х2 - 108) = 2162 - 432х2 + х4
х4 - 108х2 = 46656 - 432х2 + х4
324х2 = 46656
х2 = 144
х = 12
Отже, ВС = АВ = 12 (см)
АD = АК + КD = \begin{equation} =\sqrt{12^{2}-108}+ \end{equation} \begin{equation} +12\sqrt{12^{2}-108}=24(CM) \end{equation} Тоді \begin{equation} r=\frac{1}{}2BC= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 12=6(CM)- \end{equation} радіус верхньої основи конуса; \begin{equation} R=\frac{1}{}2AD= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 24=12(CM)- \end{equation} нижньої основи конуса; \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi h(R^{2}+rR+r^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi \cdot 6\sqrt{3}(12^{2}+12\cdot 6+6^{2})= \end{equation} \begin{equation} =504\sqrt{3}\Pi (CM^{3}). \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 504\sqrt{3}\Pi CM^{3} \end{equation}
Нехай задано зрізаний конус,
АВСD - діагональний переріз ∠АВD = 90°,
ВD - бісектриса ∠АDС,
ОО1 = 6√3 см - висота конуса.
Знайдемо V - об'єм конуса.
Так, як ВD - бісектриса ∠АDС, то ∠АDВ = ∠ВDС.
АВСD - трапеція, тому АD║ВС,
отже, ∠СВD = ∠АDВ = ∠ВDС.
Тобто маємо, що ΔВСD - рівнобедрений,
звідси ВС = СD = АВ (АВ = СD так,
як АВСD - рівнобічна трапеція).
Позначимо АВ = х.
Проведемо ВК║ОО1, СN║ОО1,
тоді ВК = 6√3 см - висота трапеції та висота ΔАВD.
За умовою ∠АВD = 90°, тоді ΔАВD - прямокутний, отже \begin{equation} BK=\sqrt{AK\cdot KD} \end{equation} Із ΔАВК (∠АКВ = 90°) \begin{equation} AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{x^{2}-(6\sqrt{3})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{x^{2}-108} \end{equation} \begin{equation} ND=AK=\sqrt{x^{2}-108}, \end{equation} КN = ВС = АВ = х.
Тоді КD = КN + ND = \begin{equation} =x+\sqrt{x^{2}-108} \end{equation} Тоді ВК2 = АК • KD = \begin{equation} =\sqrt{x^{2}-108}\cdot (x+\sqrt{x^{2}-108}. \end{equation} Маємо рівняння: \begin{equation} \sqrt{x^{2}-108}(x+\sqrt{x^{2}-108}=(6\sqrt{3})^{2} \end{equation} \begin{equation} x\sqrt{x^{2}-108}+x^{2}-108=108 \end{equation} \begin{equation} x\sqrt{x^{2}-108}=216-x^{2} \end{equation} \begin{equation} (x\sqrt{x^{2}-108})^{2}= \end{equation} \begin{equation} =(216-x^{2})^{2} \end{equation} х2(х2 - 108) = 2162 - 432х2 + х4
х4 - 108х2 = 46656 - 432х2 + х4
324х2 = 46656
х2 = 144
х = 12
Отже, ВС = АВ = 12 (см)
АD = АК + КD = \begin{equation} =\sqrt{12^{2}-108}+ \end{equation} \begin{equation} +12\sqrt{12^{2}-108}=24(CM) \end{equation} Тоді \begin{equation} r=\frac{1}{}2BC= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 12=6(CM)- \end{equation} радіус верхньої основи конуса; \begin{equation} R=\frac{1}{}2AD= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 24=12(CM)- \end{equation} нижньої основи конуса; \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi h(R^{2}+rR+r^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi \cdot 6\sqrt{3}(12^{2}+12\cdot 6+6^{2})= \end{equation} \begin{equation} =504\sqrt{3}\Pi (CM^{3}). \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 504\sqrt{3}\Pi CM^{3} \end{equation}