вправа 12.47 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 12.47
Умова:
Рівнобічна трапеція з основами 8 см і 2 см, у яку можна вписати коло, обертається навколо більшої основи. Знайдіть об'єм тіла, що при цьому утворилося.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСD - трапеція,
ВС = АD, АВ = 2 см, СD = 8 см.
В результаті обертання трапеції навколо СD
отримали тіло, яке складається з двох
рівновеликих конусів з вершинами С і D та циліндра.
Знайдемо V - об'єм утвореного тіла.
За умовою в АВСD можна вписати коло, тому
АВ + СD = АD + ВС.
Отже, АD + ВС = 8 + 2,
так, як АD = ВС, то
2АD = 10, АD = 5 (см).
Проведемо АО1 - висота трапеції,
тоді \begin{equation} O_{1}D=(CD-AB)\cdot \frac{1}{2}= \end{equation} \begin{equation} =(8-2)\cdot \frac{1}{2}=3(CM) \end{equation} h = О1D = ОС - висоти конусів.
Із ΔАО1D (∠АО1D = 90°) \begin{equation} AO_{1}=\sqrt{AD^{2}-O_{1}D^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(CM)- \end{equation} радіус основи конуса з вершинами в т. D,
та радіус основи циліндра,
ОО1 = 2 см - висота циліндра.
Позначимо Vкон. - об'єм конуса,
Vцил. - об'єм циліндра
V = 2Vкон. + Vцил.
\begin{equation} V=2\cdot \frac{1}{3}\Pi AO_{1}^{2}\cdot O_{1}D+ \end{equation} \begin{equation} +\Pi \cdot AO_{1}^{2}\cdot OO_{1}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{3}\Pi \cdot 4^{2}\cdot 3+4^{2}\cdot 2\Pi = \end{equation} \begin{equation} =32\Pi +32\Pi =64\Pi (CM^{3}). \end{equation} Відповідь: 64π см3
Нехай АВСD - трапеція,
ВС = АD, АВ = 2 см, СD = 8 см.
В результаті обертання трапеції навколо СD
отримали тіло, яке складається з двох
рівновеликих конусів з вершинами С і D та циліндра.
Знайдемо V - об'єм утвореного тіла.
За умовою в АВСD можна вписати коло, тому
АВ + СD = АD + ВС.
Отже, АD + ВС = 8 + 2,
так, як АD = ВС, то
2АD = 10, АD = 5 (см).
Проведемо АО1 - висота трапеції,
тоді \begin{equation} O_{1}D=(CD-AB)\cdot \frac{1}{2}= \end{equation} \begin{equation} =(8-2)\cdot \frac{1}{2}=3(CM) \end{equation} h = О1D = ОС - висоти конусів.
Із ΔАО1D (∠АО1D = 90°) \begin{equation} AO_{1}=\sqrt{AD^{2}-O_{1}D^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(CM)- \end{equation} радіус основи конуса з вершинами в т. D,
та радіус основи циліндра,
ОО1 = 2 см - висота циліндра.
Позначимо Vкон. - об'єм конуса,
Vцил. - об'єм циліндра
V = 2Vкон. + Vцил.
\begin{equation} V=2\cdot \frac{1}{3}\Pi AO_{1}^{2}\cdot O_{1}D+ \end{equation} \begin{equation} +\Pi \cdot AO_{1}^{2}\cdot OO_{1}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{3}\Pi \cdot 4^{2}\cdot 3+4^{2}\cdot 2\Pi = \end{equation} \begin{equation} =32\Pi +32\Pi =64\Pi (CM^{3}). \end{equation} Відповідь: 64π см3