вправа 12.50 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Відповідь ГДЗ:



Нехай Q - вершина конуса,
QО₃ - висота конуса, QА₃ - твірна конуса.
т. О₁ і О₂ належать висоті QО₃,
причому QО₁ = О₁О₂ = О₂О₃.
т. О і т. О₂ - центри кіл - перетинів паралельних основі конуса,
О₁А₁ та О₂А₂ - радіуси цих кіл,
V_{зріз.кон.} = 171 см³ - об'єм конуса з центрами основ О₂ і О₃.
Знайдемо V - об'єм конуса з вершиною Q.
Так, як перетини конуса паралельні основі,
то маємо ΔQО₁А₁ ~ ΔQО₂А₂ ~ ΔQО₃А₃ (за двома кутами).
Позначимо QО₁ = h, О₁А₁ = r, тоді із подібності трикутників:
QО₃ = 2QО₁ = 2h,
О₃А₂ = 2О₁А₁ = 2r
QО₃ = 3QО₁ = 3h,
О₃А₃ = 3О₁А₁ = 3r.
Тоді об'єм конуса з вершиною Q: \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi \cdot QO_{3}\cdot O_{3}A_{3}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot h\cdot (3r)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =9\Pi r^{2}h. \end{equation} Об'єм зрізаного конуса з центрами основ О₁ і О₃:
V_{зріз.кон.}= \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi O_{2}O_{3}\cdot (O_{2}A_{2}^{2}+O_{2}A_{2}\cdot O_{3} A_{3}+O_{3}A_{3}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi }{3}h\cdot ((2r)^{2}+2r\cdot 3r+(3r)^{2})= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi }{3}h\cdot (4r^{2}+6r^{2}+9r^{2})= \end{equation} \begin{equation} =\frac{19\Pi }{3}hr^{2}. \end{equation} За умовою V_{зріз.кон.} = 171 см², тоді \begin{equation} \frac{19\Pi }{3}hr^{2}=171, \end{equation} πhr² = 27
Тоді V = 9πr²h = 9 • 27 = 243 (см³).
Відповідь: 243 см³