вправа 12.52 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 12.52
Умова:
Знайдіть об'єм конуса, у якого середина висоти віддалена від твірної на відстань b, а кут нахилу твірної до площини основи дорівнює α.
Відповідь ГДЗ:
Нехай Q - вершина конуса, QО - висота, QА - твірна,
т. М - середина QО, МВ ┴ QА, МВ = b, ∠QАО = α.
Знайдемо V - об'єм конуса.
ΔАОQ ~ ΔМВQ за двома кутами
(∠Q - спільний ∠АОQ = ∠МВQ = 90°).
Тоді ∠ВМQ = ∠QАО = α
Із ΔQВМ: \begin{equation} QM=\frac{MB}{cos\angle BMQ}=\frac{b}{cos\alpha } \end{equation} Із ΔАОQ (∠АОQ = 90°)
АО = Q: \begin{equation} tg\angle QAO=\frac{2b}{cos\alpha tg\alpha }=\frac{2b}{sin\alpha } \end{equation} АО - радіус, QО - висота конуса, тому \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO^{2}\cdot QO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot \frac{4b^{2}}{sin^{2}\alpha }\cdot \frac{2b}{cos\alpha }= \end{equation} \begin{equation} = \frac{8\Pi b^{2}}{3sin^{2}\alpha cos\alpha }= \end{equation} \begin{equation} = \frac{16\Pi b^{3}}{3sin2\alpha\cdot sin\alpha }. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{16\Pi b^{3}}{3sin2\alpha\cdot sin\alpha } \end{equation}
Нехай Q - вершина конуса, QО - висота, QА - твірна,
т. М - середина QО, МВ ┴ QА, МВ = b, ∠QАО = α.
Знайдемо V - об'єм конуса.
ΔАОQ ~ ΔМВQ за двома кутами
(∠Q - спільний ∠АОQ = ∠МВQ = 90°).
Тоді ∠ВМQ = ∠QАО = α
Із ΔQВМ: \begin{equation} QM=\frac{MB}{cos\angle BMQ}=\frac{b}{cos\alpha } \end{equation} Із ΔАОQ (∠АОQ = 90°)
АО = Q: \begin{equation} tg\angle QAO=\frac{2b}{cos\alpha tg\alpha }=\frac{2b}{sin\alpha } \end{equation} АО - радіус, QО - висота конуса, тому \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO^{2}\cdot QO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot \frac{4b^{2}}{sin^{2}\alpha }\cdot \frac{2b}{cos\alpha }= \end{equation} \begin{equation} = \frac{8\Pi b^{2}}{3sin^{2}\alpha cos\alpha }= \end{equation} \begin{equation} = \frac{16\Pi b^{3}}{3sin2\alpha\cdot sin\alpha }. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{16\Pi b^{3}}{3sin2\alpha\cdot sin\alpha } \end{equation}