вправа 12.54 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 12.54
Умова:
Трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см обертається навколо прямої, що проходить через вершину середнього за величиною кута і паралельна протилежній до цієї вершини стороні трикутника. Знайдіть об'єм тіла, що при цьому утворилося.
Відповідь ГДЗ:
Нехай ΔАВС обертається навколо прямої l,
що проходе через т. А, l║ВС, АВ = 13 см,
ВС = 14 см, АС = 15 см.
Знайдемо V - об'єм тіла, що утворилося при обертанні.
V = Vцил - Vкон1 - Vкон2,
де V - об'єм циліндра з висотою О1О2,
що належить прямій l і дорівнює ВС,
тобто О1О2 = ВС = 14 см і радіусом О1В.
Vкон1 - об'єм конуса з вершною в т. А,
висотою АО1, і радіусом О1В.
Vкон2 - об'єм конуса з вершиною в т. А,
висотою АО2 і радіусом О2С.
Так, як АО1 - висота конуса, то ∠АО1В = 90°,
тоді ΔАО1В - прямокутний.
Позначимо АО1 = х, тоді
АО2 = 14 - х
Із ΔАО1В: О1В2 = АВ2 - АО12
О1В2 = 132 - х2: О1В2 = 169 - х2
Із ΔАО2С (∠АО2С = 90°)
О2С2 = АС2 - АО22 = 152 - (14 - х)2
Так, як О1В = О2С - радіуси основ циліндра, то
169 - х2 = 225 - (14 - х)2
169 - х2 = 225 - 196 + 28х - х2
28х = 140
х = 5
АО1 = 5 (см), АО2 = 14 - 5 = 9 (см) \begin{equation} O_{1}B=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12(CM) \end{equation} R = О1В = О2С = 12 - радіус основ циліндра і конуса.
Vцил = π • О1В2 • О1О2 =
= π • 122 • 14 = 2016π (см3) \begin{equation} V_{KOH.1}=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO_{1}\cdot O_{1}B^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot 5\cdot 12^{2}=240\Pi (CM^{3}) \end{equation} \begin{equation} V_{KOH.2}=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO_{2}\cdot O_{2}C= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot 9\cdot 12^{2}=432\Pi (CM^{3}) \end{equation} V = 2016π - 240π - 432π =
= 1344π (см3).
Відповідь: 1344π см3
Нехай ΔАВС обертається навколо прямої l,
що проходе через т. А, l║ВС, АВ = 13 см,
ВС = 14 см, АС = 15 см.
Знайдемо V - об'єм тіла, що утворилося при обертанні.
V = Vцил - Vкон1 - Vкон2,
де V - об'єм циліндра з висотою О1О2,
що належить прямій l і дорівнює ВС,
тобто О1О2 = ВС = 14 см і радіусом О1В.
Vкон1 - об'єм конуса з вершною в т. А,
висотою АО1, і радіусом О1В.
Vкон2 - об'єм конуса з вершиною в т. А,
висотою АО2 і радіусом О2С.
Так, як АО1 - висота конуса, то ∠АО1В = 90°,
тоді ΔАО1В - прямокутний.
Позначимо АО1 = х, тоді
АО2 = 14 - х
Із ΔАО1В: О1В2 = АВ2 - АО12
О1В2 = 132 - х2: О1В2 = 169 - х2
Із ΔАО2С (∠АО2С = 90°)
О2С2 = АС2 - АО22 = 152 - (14 - х)2
Так, як О1В = О2С - радіуси основ циліндра, то
169 - х2 = 225 - (14 - х)2
169 - х2 = 225 - 196 + 28х - х2
28х = 140
х = 5
АО1 = 5 (см), АО2 = 14 - 5 = 9 (см) \begin{equation} O_{1}B=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12(CM) \end{equation} R = О1В = О2С = 12 - радіус основ циліндра і конуса.
Vцил = π • О1В2 • О1О2 =
= π • 122 • 14 = 2016π (см3) \begin{equation} V_{KOH.1}=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO_{1}\cdot O_{1}B^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot 5\cdot 12^{2}=240\Pi (CM^{3}) \end{equation} \begin{equation} V_{KOH.2}=\frac{1}{3}\Pi \cdot AO_{2}\cdot O_{2}C= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot 9\cdot 12^{2}=432\Pi (CM^{3}) \end{equation} V = 2016π - 240π - 432π =
= 1344π (см3).
Відповідь: 1344π см3