вправа 13.56 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 13.56
Умова:
Умова:
У кулю вписано рівносторонній циліндр і рівносторонній конус. Доведіть, що об'єм циліндра є середнім геометричним об'ємів кулі і конуса.
Відповідь ГДЗ:
Якщо d - середнє геометричне для а1 і а2,
то має місце властивість \begin{equation} \frac{a_{1}}{d}=\frac{g}{a_{2}}. \end{equation} Скористаємося нею для доведення.
Об'єм конуса: \begin{equation} V_{k}=\frac{1}{3}\Pi r^{2}H \end{equation} У правильному конусі \begin{equation} H=2\cdot r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r, \end{equation} тоді \begin{equation} V_{k}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Pi r^{3}. \end{equation} Об'єм циліндра:
Vц. = πr2h
У правильному циліндрі Н = 2r,
тоді Vц. = 2πr3.
Об'єм кулі: \begin{equation} V_{k}=\frac{4}{3}\Pi r^{3} \end{equation} Доведемо, що\begin{equation} \frac{V_{k}}{V_{u}}=\frac{V_{u}}{V_{k}} \end{equation} \begin{equation} V_{k}:V_{u}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{4}{3}\Pi r^{3}}{2\Pi r^{3}}=\frac{2}{3} \end{equation} \begin{equation} V_{u}:V_{k}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2\Pi r^{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}\Pi r^{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \end{equation} \begin{equation} \frac{2}{3}\neq \frac{2}{\sqrt{3}}. \end{equation}
Якщо d - середнє геометричне для а1 і а2,
то має місце властивість \begin{equation} \frac{a_{1}}{d}=\frac{g}{a_{2}}. \end{equation} Скористаємося нею для доведення.
Об'єм конуса: \begin{equation} V_{k}=\frac{1}{3}\Pi r^{2}H \end{equation} У правильному конусі \begin{equation} H=2\cdot r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r, \end{equation} тоді \begin{equation} V_{k}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Pi r^{3}. \end{equation} Об'єм циліндра:
Vц. = πr2h
У правильному циліндрі Н = 2r,
тоді Vц. = 2πr3.
Об'єм кулі: \begin{equation} V_{k}=\frac{4}{3}\Pi r^{3} \end{equation} Доведемо, що\begin{equation} \frac{V_{k}}{V_{u}}=\frac{V_{u}}{V_{k}} \end{equation} \begin{equation} V_{k}:V_{u}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{4}{3}\Pi r^{3}}{2\Pi r^{3}}=\frac{2}{3} \end{equation} \begin{equation} V_{u}:V_{k}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2\Pi r^{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}\Pi r^{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \end{equation} \begin{equation} \frac{2}{3}\neq \frac{2}{\sqrt{3}}. \end{equation}