вправа 13.61 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 13.61
Умова:
Умова:
Основою піраміди є трикутник зі сторонами 11 см, 13 см і 20 см. Висота піраміди проходить через центр кола, вписаного в основу, і дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм кулі, вписаної в піраміду.
Відповідь ГДЗ:
Дано:
піраміда, ΔАВС
АС = 11 см
АВ = 20 см
СВ = 13 см
SO = 4 см
Знайти: Vк. - ?
Розв'язання: \begin{equation} V=\frac{4}{3}\Pi R^{3} \end{equation} R - вписан. кулі \begin{equation} R_{B\Pi .K}=\frac{3V_{\Pi IP.}}{S_{\Pi .\Pi IP.}} \end{equation} \begin{equation} V_{\Pi IP.}=\frac{1}{3}S_{OCH.}\cdot 4 \end{equation} Sп.пір. = Sб.п. + Sосн. \begin{equation} S_{B.\Pi }=\frac{S_{OCH.}}{cos\angle SMO} \end{equation} \begin{equation} S_{B.\Pi }=\frac{1}{2}P_{OCH.}\cdot SM \end{equation} \begin{equation} S_{OCH.}=\sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-CB)} \end{equation} \begin{equation} p=\frac{11+20+13}{2}=22 \end{equation} \begin{equation} S_{OCH.}=\sqrt{22(22-20)(22-13)(22-11)}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{22\cdot 2\cdot 9\cdot 11}=66 \end{equation} ОМ = Г кола, вписаного в основу ΔАВС. \begin{equation} OM=\frac{S}{P} \end{equation} \begin{equation} OM=\frac{66}{22}=3(CM) \end{equation} з ΔSOM SO ┴ ОМ за
теоремою Піфагора: \begin{equation} SM=\sqrt{SO^{2}+OM^{2}}= \end{equation} \begin{equation} SM=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5(CM) \end{equation} Росн. = АВ + АС + СВ
Росн. = 11 + 20 + 13 = 44 (см) \begin{equation} S_{B.\Pi }=\frac{1}{2}\cdot 44\cdot 5=110(CM). \end{equation} Sполн.пір = 110 + 66 = 176 (см) \begin{equation} V_{\Pi IP.}=\frac{1}{3}\cdot 66\cdot 4= \end{equation} \begin{equation} =88(CM^{3}) \end{equation} Rвпис.кола = \begin{equation} =\frac{3\cdot 88}{176}=1,5(CM) \end{equation} Vкулі = \begin{equation} =\frac{4}{3}\Pi \cdot (1,5)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{3}\cdot \frac{27}{8}\Pi = \end{equation} \begin{equation} =4,5\Pi (CM^{3}) \end{equation} Vкулі = 4,5π (см3).
Відповідь: Vк. = 4,5π см3
Дано:
піраміда, ΔАВС
АС = 11 см
АВ = 20 см
СВ = 13 см
SO = 4 см
Знайти: Vк. - ?
Розв'язання: \begin{equation} V=\frac{4}{3}\Pi R^{3} \end{equation} R - вписан. кулі \begin{equation} R_{B\Pi .K}=\frac{3V_{\Pi IP.}}{S_{\Pi .\Pi IP.}} \end{equation} \begin{equation} V_{\Pi IP.}=\frac{1}{3}S_{OCH.}\cdot 4 \end{equation} Sп.пір. = Sб.п. + Sосн. \begin{equation} S_{B.\Pi }=\frac{S_{OCH.}}{cos\angle SMO} \end{equation} \begin{equation} S_{B.\Pi }=\frac{1}{2}P_{OCH.}\cdot SM \end{equation} \begin{equation} S_{OCH.}=\sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-CB)} \end{equation} \begin{equation} p=\frac{11+20+13}{2}=22 \end{equation} \begin{equation} S_{OCH.}=\sqrt{22(22-20)(22-13)(22-11)}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{22\cdot 2\cdot 9\cdot 11}=66 \end{equation} ОМ = Г кола, вписаного в основу ΔАВС. \begin{equation} OM=\frac{S}{P} \end{equation} \begin{equation} OM=\frac{66}{22}=3(CM) \end{equation} з ΔSOM SO ┴ ОМ за
теоремою Піфагора: \begin{equation} SM=\sqrt{SO^{2}+OM^{2}}= \end{equation} \begin{equation} SM=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5(CM) \end{equation} Росн. = АВ + АС + СВ
Росн. = 11 + 20 + 13 = 44 (см) \begin{equation} S_{B.\Pi }=\frac{1}{2}\cdot 44\cdot 5=110(CM). \end{equation} Sполн.пір = 110 + 66 = 176 (см) \begin{equation} V_{\Pi IP.}=\frac{1}{3}\cdot 66\cdot 4= \end{equation} \begin{equation} =88(CM^{3}) \end{equation} Rвпис.кола = \begin{equation} =\frac{3\cdot 88}{176}=1,5(CM) \end{equation} Vкулі = \begin{equation} =\frac{4}{3}\Pi \cdot (1,5)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{3}\cdot \frac{27}{8}\Pi = \end{equation} \begin{equation} =4,5\Pi (CM^{3}) \end{equation} Vкулі = 4,5π (см3).
Відповідь: Vк. = 4,5π см3