вправа 14.64 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 14.64
Умова:
Умова:
Радіус основи конуса дорівнює 3 см, а твірна - 5 см. Знайдіть площу сфери, вписаної в цей конус.
Відповідь ГДЗ:
Розглянемо переріз, що проходить
через вісь конуса і центр кулі.
О1 - центр вписаного кола, точка
перетину гіпотенузи трикутника.
Знаємо властивість бісектриси,
а саме, бісектриса поділяє протилежну
сторону на частини пропорційні
прилеглим сторонам трикутника. \begin{equation} \frac{SB}{SO_{1}}=\frac{OB}{OO_{1}}. \end{equation} За умовою SB = l = 5 см
ОВ = r = 3 см
За теоремою Піфагора: \begin{equation} SO=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(CM) \end{equation} SO1 = 4 - R
O1O = R (радіус кулі), отже \begin{equation} \frac{l}{4-R}=\frac{r}{R}=> \end{equation} \begin{equation} \frac{5}{4-R}=\frac{3}{R} \end{equation} 5R = 3(4 - R)
5R = 12 - 3R
5R + 3R = 12
8R = 12 \begin{equation} R=\frac{12}{8} \end{equation} R = 1,5
S = 4πR2 = 4π(1,5)2 = 9π (см2).
Відповідь: 9π см2
Розглянемо переріз, що проходить
через вісь конуса і центр кулі.
О1 - центр вписаного кола, точка
перетину гіпотенузи трикутника.
Знаємо властивість бісектриси,
а саме, бісектриса поділяє протилежну
сторону на частини пропорційні
прилеглим сторонам трикутника. \begin{equation} \frac{SB}{SO_{1}}=\frac{OB}{OO_{1}}. \end{equation} За умовою SB = l = 5 см
ОВ = r = 3 см
За теоремою Піфагора: \begin{equation} SO=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(CM) \end{equation} SO1 = 4 - R
O1O = R (радіус кулі), отже \begin{equation} \frac{l}{4-R}=\frac{r}{R}=> \end{equation} \begin{equation} \frac{5}{4-R}=\frac{3}{R} \end{equation} 5R = 3(4 - R)
5R = 12 - 3R
5R + 3R = 12
8R = 12 \begin{equation} R=\frac{12}{8} \end{equation} R = 1,5
S = 4πR2 = 4π(1,5)2 = 9π (см2).
Відповідь: 9π см2