вправа 2.39 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.39
Умова:
Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 2 см і 5 см, а більша висота основи - 4 см. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 2√2 см.
Відповідь:
ABCDA1B1C1D1 - прямий паралелепіпед (мал. 90),
АВ = 2 см, АD = 5 см, DК = 4 см - висота основи,
l = 2√2 - висота паралелепіпеда.
Знайдемо В1D і АС1.
SABCD = DК • АВ
SABCD = 4 • 2 = 8 см2, з іншого боку
SABCD = АВ • ADsin∠BAD
sin∠BAD = SABCD/AB•AD
sin∠BAD = 8/(2•5) = 8/10 = 4/5
Тоді cos∠BAD = √1 - (4/5)2 = 3/5
За теоремою косинусів:
ВD2 = АВ2 + АD2 - 2АВ • АDcos∠BAD
BD2 = 4 + 25 - 2 • 2 • 5 • 3/5
BD2 = 17
Із ΔBB1D (∠В = 90°)
B1D2 = √ВD2 + ВВ12 = √17 + 8 = 5 (см)
за властивістю паралелограма
АС2 + ВD2 = (АВ2 + АD2) • 2
АС2 = (22 + 52) • 2 - 17 = 41
Із ΔАСС1 (∠С = 90°)
АС1 = √АС2 + СС12 = √41 + 8 = 7 (см).
Відповідь: 8 см, 7 см
АВ = 2 см, АD = 5 см, DК = 4 см - висота основи,
l = 2√2 - висота паралелепіпеда.
Знайдемо В1D і АС1.
SABCD = DК • АВ
SABCD = 4 • 2 = 8 см2, з іншого боку
SABCD = АВ • ADsin∠BAD
sin∠BAD = SABCD/AB•AD
sin∠BAD = 8/(2•5) = 8/10 = 4/5
Тоді cos∠BAD = √1 - (4/5)2 = 3/5
За теоремою косинусів:
ВD2 = АВ2 + АD2 - 2АВ • АDcos∠BAD
BD2 = 4 + 25 - 2 • 2 • 5 • 3/5
BD2 = 17
Із ΔBB1D (∠В = 90°)
B1D2 = √ВD2 + ВВ12 = √17 + 8 = 5 (см)
за властивістю паралелограма
АС2 + ВD2 = (АВ2 + АD2) • 2
АС2 = (22 + 52) • 2 - 17 = 41
Із ΔАСС1 (∠С = 90°)
АС1 = √АС2 + СС12 = √41 + 8 = 7 (см).
Відповідь: 8 см, 7 см