вправа 2.40 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.40
Умова:
Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 4 см, а площа основи - 6√3 см2. Висота паралелепіпеда дорівнює 2√3 см. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямий паралелепіпед (мал. 90),
ABCD - основа, АВ = 3 см, AD = 4 см,
SABCD = 6√3 см, l = 2√3 см - висота паралелепіпеда.
Знайдемо B1D, AC1.
SABCD = AB • ADsin∠BAD
sin∠BAD = SABCD/(AB•AD)
sin∠BAD = 6√3/(3•4) = √3/2
Звідки ∠BAD = 60°
За теоремою косинусів:
BD2 = AB2 + AD2 - 2AB • AD cos∠BAD
BD2 = 9 + 16 - 2 • 3 • 4 cos60°
BD2 = 13
Із ΔBB1D (∠В = 90°)
В1D2 = √ВD2 + ВВ12 = √13 + 12 = √25 = 5 см
За властивістю паралелограма:
АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + АD2)
АС2 = 2(9 + 16) - 13 = 27
Із ΔАСС1 (∠С = 90°)
АС1 = √АС2 + СС12 = √37 + (2√3)2 = √37 + 12 = 7 (см).
Відповідь: 7 см, 5 см
ABCD - основа, АВ = 3 см, AD = 4 см,
SABCD = 6√3 см, l = 2√3 см - висота паралелепіпеда.
Знайдемо B1D, AC1.
SABCD = AB • ADsin∠BAD
sin∠BAD = SABCD/(AB•AD)
sin∠BAD = 6√3/(3•4) = √3/2
Звідки ∠BAD = 60°
За теоремою косинусів:
BD2 = AB2 + AD2 - 2AB • AD cos∠BAD
BD2 = 9 + 16 - 2 • 3 • 4 cos60°
BD2 = 13
Із ΔBB1D (∠В = 90°)
В1D2 = √ВD2 + ВВ12 = √13 + 12 = √25 = 5 см
За властивістю паралелограма:
АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + АD2)
АС2 = 2(9 + 16) - 13 = 27
Із ΔАСС1 (∠С = 90°)
АС1 = √АС2 + СС12 = √37 + (2√3)2 = √37 + 12 = 7 (см).
Відповідь: 7 см, 5 см