вправа 2.42 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.42
Умова:
У прямому паралелепіпеді ребра, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 2 см, 4 см і 6 см, а кут між меншими з них дорівнює 60°. Знайдіть більшу діагональ паралелепіпеда.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямий паралелепіпед,
ABCD - основа, квадрат (мал. 92),
АВ = 2 см, AD = 4 см, СС1 = 6 см, ∠BAD = 60°.
Знайдемо АС.
Із ΔABD за теоремою косинусів:
BD2 = АВ2 + АD2 - 2АВ • АD cos∠BAD
ВD2 = 4 + 16 - 2 • 2 • 4 cos60°
ВD2 = 20 - 8 = 12
За властивістю паралелограма:
АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + АD2), звідки
АС2 = 2(22 + 42) - 12
АС2 = 28
Із ΔАСС1 (∠С = 90°)
АС1 = √АС2 + СС12 = √28 + 36 = √64 = 8 (см).
Відповідь: 8 см
ABCD - основа, квадрат (мал. 92),
АВ = 2 см, AD = 4 см, СС1 = 6 см, ∠BAD = 60°.
Знайдемо АС.
Із ΔABD за теоремою косинусів:
BD2 = АВ2 + АD2 - 2АВ • АD cos∠BAD
ВD2 = 4 + 16 - 2 • 2 • 4 cos60°
ВD2 = 20 - 8 = 12
За властивістю паралелограма:
АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + АD2), звідки
АС2 = 2(22 + 42) - 12
АС2 = 28
Із ΔАСС1 (∠С = 90°)
АС1 = √АС2 + СС12 = √28 + 36 = √64 = 8 (см).
Відповідь: 8 см