вправа 2.64 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.64
Умова:
Чотири грані похилого паралелепіпеда є квадратами зі стороною завдовжки 2 см. Бічне ребро паралелепіпеда нахилене до площини основи під кутом 30°. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - похилий палалелепіпед (мал. 102),
ABCD, A1B1C1D1, АА1В1В, СС1D1D - квадрати.
АВ = 2 см, ∠С1СК = 30°, С1К - висота паралелепіпеда.
Знайдемо Sпов.
Так як чотири грані паралелепіпеда квадрати, то решта дві грані - ромби.
Проведемо С1К1 - висота бічної грані ВВ1С1С.
Із ΔС1СК (∠С = 90°)
СК = С1С cos∠С1СК = 2cos30° = 2√3/2 = √3
Із ΔСКК1 (∠К1 = 90°)
СК1 = СКcos45° = (√3•√2)/2 = √6/2
Із ΔСС1К1 (∠К1 = 90°)
cos∠С1СК1 = СК1/СС1
cos∠С1СК1 = √6/2 : 2 = √6/2 • 1/2 = √6/4
SВВ1С1С = ВС2 • sin∠С1СК1
sin∠С1СК1 = √1 - 6/16 = √10/16 = √10/4
SВВ1С1С = 22 • √10/4 = √10
SABCD = SА1В1С1D1 = SАА1В1В = SСС1D1D = 22 = 4
Sпов. = 4 • 4 + 2 • √10 = 16 + 2√10.
Відповідь: 16 + 2√10
ABCD, A1B1C1D1, АА1В1В, СС1D1D - квадрати.
АВ = 2 см, ∠С1СК = 30°, С1К - висота паралелепіпеда.
Знайдемо Sпов.
Так як чотири грані паралелепіпеда квадрати, то решта дві грані - ромби.
Проведемо С1К1 - висота бічної грані ВВ1С1С.
Із ΔС1СК (∠С = 90°)
СК = С1С cos∠С1СК = 2cos30° = 2√3/2 = √3
Із ΔСКК1 (∠К1 = 90°)
СК1 = СКcos45° = (√3•√2)/2 = √6/2
Із ΔСС1К1 (∠К1 = 90°)
cos∠С1СК1 = СК1/СС1
cos∠С1СК1 = √6/2 : 2 = √6/2 • 1/2 = √6/4
SВВ1С1С = ВС2 • sin∠С1СК1
sin∠С1СК1 = √1 - 6/16 = √10/16 = √10/4
SВВ1С1С = 22 • √10/4 = √10
SABCD = SА1В1С1D1 = SАА1В1В = SСС1D1D = 22 = 4
Sпов. = 4 • 4 + 2 • √10 = 16 + 2√10.
Відповідь: 16 + 2√10