вправа 2.66 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.66
Умова:
Кінці трьох ребер паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, сполучили відрізками. Доведіть, що центроїд трикутника, який при цьому утворився, належить діагоналі паралелепіпеда, яка виходить із тієї самої вершини і ділить цю діагональ у відношенні 1 : 2, рахуючи від спільної вершини.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - палалелепіпед (мал. 104),
т. К - центроід ΔАВ1С1, ABCD - основа паралелепіпеда.
Доведемо, що ВК : КD1 = 1 : 2
Так як ВВ1D1D - паралелограм, то ВD || В1D1,
тоді ∠D1ВD = ∠ВD1В1,
∠В1КD1 = ∠ВКО - вертикальні
(т. О - точка перетину діагоналей АС і ВD основи),
отже ΔВКО ˜ ΔВ1КD1.
Із подібності трикутників ВК/КD1 = КО/В1К.
Так як В1О - медіана ΔАВ1С, то т. К ділить її у відношенні 2 : 1, тобто
В1К/КО = 2/1, тоді ВК/КD1 = КО/В1К = 1/2.
Тобто ВК : КD1 = 1 : 2.
т. К - центроід ΔАВ1С1, ABCD - основа паралелепіпеда.
Доведемо, що ВК : КD1 = 1 : 2
Так як ВВ1D1D - паралелограм, то ВD || В1D1,
тоді ∠D1ВD = ∠ВD1В1,
∠В1КD1 = ∠ВКО - вертикальні
(т. О - точка перетину діагоналей АС і ВD основи),
отже ΔВКО ˜ ΔВ1КD1.
Із подібності трикутників ВК/КD1 = КО/В1К.
Так як В1О - медіана ΔАВ1С, то т. К ділить її у відношенні 2 : 1, тобто
В1К/КО = 2/1, тоді ВК/КD1 = КО/В1К = 1/2.
Тобто ВК : КD1 = 1 : 2.