вправа 2.70 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

 
Вправа 2.70
 
Умова:
 
Бічне ребро АА1 похилого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 утворює рівні гострі кути з ребрами АВ і AD цього паралелепіпеда. А1К - висота паралелепіпеда. Доведіть, що точка К належить бісектрисі кута BAD.
 
 
Відповідь:
 
вправа 2.70 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
 
Нехай ABCDA1B1C1D1 - похилий палалелепіпед (мал. 108),
∠А1АВ = ∠А1АD, А1К - висота паралелепіпеда.
Доведемо, що т. К належить бісектрисі ∠ВАD.

Проведемо А1Р ⊥ АВ, А1М ⊥ AD.
Тоді ΔАРА1 = ∠АМА, так як ∠А1АВ = ∠А1АD, А1А - спільна гіпотенуза.
Із рівності трикутників АР = АМ.
За теоремою про три перпендикуляри ∠КРА = 90°, ∠КМА = 90°.
ΔАКР = ΔАКМ так як АР = АМ, АК - спільна гіпотенуза.
Із рівності трикутників ∠КАМ = ∠КАР,
отже АК - бісектриса ∠МАР, тобто т. К належить бісектрисі ∠ВАD.