вправа 2.78 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.78
Умова:
Одна з діагоналей основи прямого паралелепіпеда дорівнює 6√2 см і утворює кут 45° зі стороною основи. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда, якщо більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 19 см, а площа його основи дорівнює 21 см2.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямий палалелепіпед,
ABCD - основа, BD = 6√2 см, ∠ABD = 45°,
dбол. = 19 см - більша діагональ паралелепіпеда,
Sосн. = 21 см2.
Знайдемо Sбіч. (мал. 112).
Sбіч. = Росн. • h
Sосн. = 2SΔABD = 2 • 1/2АВ • BDsinB = AB • BDsin45° = АВ • 6√2 • √2/2 = 6АВ
6АВ = 21
АВ = 3,5 см
Із ΔABD по теоремі косинусів:
AD2 = AB2 + BD2 - 2AB • BDcos∠В
AD2 = 3,52 + (6√2)2 - 2 • 3,5 • 6√2 • √2/2
AD2 = 12,25 + 72 - 42
AD = 6,5
За властивістю діагоналей паралелограмма:
2(АВ2 + AD2) = BD2 + AC2
AC2 = -BD2 + 2(AB2 + AD2)
AC2 = -(6√2)2 + 2(12,25 + 42,25)
АС2 = 37
АС = √37
Отже dбіл. = BD1 = 19 см
Із ΔBDD1 (∠D = 90°)
DD1 = √BD12 - BD2
DD1 = √192 - (6√2)2 = √289 = 17 (см)
Sбіч. = (3,5 + 6,5) • 2 • 17 = 340 (см2).
Відповідь: 340 см2
ABCD - основа, BD = 6√2 см, ∠ABD = 45°,
dбол. = 19 см - більша діагональ паралелепіпеда,
Sосн. = 21 см2.
Знайдемо Sбіч. (мал. 112).
Sбіч. = Росн. • h
Sосн. = 2SΔABD = 2 • 1/2АВ • BDsinB = AB • BDsin45° = АВ • 6√2 • √2/2 = 6АВ
6АВ = 21
АВ = 3,5 см
Із ΔABD по теоремі косинусів:
AD2 = AB2 + BD2 - 2AB • BDcos∠В
AD2 = 3,52 + (6√2)2 - 2 • 3,5 • 6√2 • √2/2
AD2 = 12,25 + 72 - 42
AD = 6,5
За властивістю діагоналей паралелограмма:
2(АВ2 + AD2) = BD2 + AC2
AC2 = -BD2 + 2(AB2 + AD2)
AC2 = -(6√2)2 + 2(12,25 + 42,25)
АС2 = 37
АС = √37
Отже dбіл. = BD1 = 19 см
Із ΔBDD1 (∠D = 90°)
DD1 = √BD12 - BD2
DD1 = √192 - (6√2)2 = √289 = 17 (см)
Sбіч. = (3,5 + 6,5) • 2 • 17 = 340 (см2).
Відповідь: 340 см2