вправа 2.86 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

11 клас ➠ геометрія ➠ Істер
 
Вправа 2.86
 
Умова:
 
ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед. Чи може ΔAB1С бути: 1) прямокутним; 2) тупокутним?
 
 
Відповідь:
 
вправа 2.86 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
 
Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямокутний палалелепіпед.
З'ясуємо чи може ΔАВ1С бути: 1) прямокутним; 2) тупокутним (мал. 117).
Позначимо l - висота паралелепіпеда, тобто ВВ1 = l, АВ = а, ВС = b
Із ΔАВ1В (∠В = 90°)
АВ12 = а2 + l2
Із ΔВВ1С (∠В = 90°)
В1С2 = b2 + l2
Із ΔАВС
АС2 = a2 + b2
1) Припустимо, що ΔАВ1С - прямокутний, ∠АВ1С = 90°, тоді
АС2 = АВ12 + В1С2
a2 + b2 = a2 + l2 + b2 + l2
2l2 = 0
l = 0
Тобто в цьому випадку висота l = 0, чого бути не може.
Якщо припустити, що ∠В1СА = 90°, то
АВ12 = В1С2 + АС2
a2 + l2 = b2 + l2 + a2 + b2
2ab2 = 0
b = 0
Чого теж не може бути.
Аналогічно, якщо ∠В1АС = 90°, то а = 0.
Тобто ΔАВ1С не може бути прямокутник.
2) Припустимо, що ΔАВ1С - тупокутний, ∠АВ1С > 90°.
Тоді за теоремою косинусів:
АС2 = АС12 + В1С2 - 2АВ1 - В1Сcos∠АВ1С
a2 + b2 = a2 + l2 + b2 + l2 - 2√(a2 + l2)(b2 + l2) • cosАВ1С
звідки 2l2 - 2√(a2 + l2)(b2 + l2)cos∠АВ1С = 0
Так як ∠АВ1С > 90°, то cos∠АВ1С - від'ємний, тобто
2l2 + 2√(a2 + l2)(b2 + l2)cosφ = 0
Так як l2 > 0, (a2 + l2) > 0, b2 + l2 > 0, то
2l2 + 2√(a2 + l2)(b2 + l2) cosφ > 0
Тобто трикутник не може бути тупокутним.
Відповідь: 1) ні; 2) ні.