вправа 2.89 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

11 клас ➠ геометрія ➠ Істер
 
Вправа 2.89
 
Умова:
 
Доведіть, що сума квадратів діагоналей будь-якого паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів усіх його ребер.
 
 
Відповідь:
 
Нехай ABCDA1B1C1D1 - палалелепіпед.
Доведемо, що сума квадратів діагонального паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його ребер.
вправа 2.89 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

1) Розглянемо ABCDA1B1C1D1 - похилий паралелепіпед.
Позначимо BD = d1, AC = d2
AB = a, BC = b, BB1 = l
За властивістю паралелограма:
d12 + d22 = 2a2 + 2b2
Із BB1D1D: B1D2 + BD12 = 2(BB12 + BD2) = 2(l2 + 2a2 + 2b2 - d22)
Із АА1С1С: А1С2 + АС12 = 2(АА12 + АС2) = 2(l2 + 2a2 + 2b2 - d12).
Додамо отримані рівності:
B1D2 + BD12 + A1C2 + AC12 = 4l2 + 8a2 + 8b2 - 2(d12 + d22)
B1D2 + BD12 + A1C2 + AC12 = 4l2 + 8a2 + 8b2 - 2(2a2 + 2b2)
B1D2 + BD12 + A1C2 + АC12 = 4l2 + 4a2 + 4b2.
Отже, в похилому паралелепіпеді сума квадратних діагоналей равна сумі квадратів всіх ребер;
2) Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямий паралелепіпед (мал. 121).
Позначимо АВ = а, ВС = b, ВВ1 = l
2 89 2

BD = d1, AC = d2
ABCD - паралелограм, тому d12 + d22 = 2a2 + 2b2
AA1С1С - прямокутник, отже АС1 = А1С
Із ΔА1АС (∠А = 90°)
А1С2 = АА12 + АС2 = l2 + d22
BB1D1D - прямокутник, тому BD1 = B1D
Із ΔB1BD (∠В = 90°)
B1D2 = BB12 + d12 = l2 + d12
Додамо рівності:
А1С2 + B1D2 = l2 + d22 + l2 + d12
A1C2 + B1D2 = 2l2 + 2a2 + 2b2
Тоді сума квадратів всіх діагоналей:
А1С2 + АС12 + B1D2 + BD12 = 2(A1C2 + B1D2), отже
2(А1С2 + B1D2) = 2(2l2 + 2a2 + 2b2)
A1C2 + AC12 + B1D2 + BD12 = 4l2 + 4a2 + 4b2;
3) Якщо ABCDA1B1C1D1 - прямокутний палалелепіпед,
то у нього всі діагоналі рівні, крім того, за теоремою dпар. - діагональ паралелепіпеда:
d2пар. = а2 + b2 + l2, тоді
4d2пар. = 4a2 + 4b2 + 4l2
Отже, сума квадратів всіх діагоналей будь-якого паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів всіх ребер.