вправа 2.92 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.92
Умова:
Основою похилого паралелепіпеда є ромб ABCD, у якого ∠BAD = 60°, бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60°, а площина АА1С1 перпендикулярна до площини основи. Доведіть, що площі перерізів AA1С1С і BB1D1D відносяться як 3 : 2.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - похилий палалелепіпед (мал. 120),
∠BAD = 60°, ABCD - ромб, площина АА1С ⊥ ABCD, ∠С1СА = 60°.
Доведемо, що SАА1С1С : SBB1D1D = 3 : 2.
Нехай АВ = а, СС1 = l, тоді
ΔABD : BD = a, АО = аcos30° = а√3/2.
Отже, АС = 2АО = 2 • а√3/2 = а√3
Проведемо С1К - висота АА1С1С
Із ΔС1КС (∠К = 90°)
С1К = С1С sin∠С1СА = lsin60° = l√3/2
SАА1С1С = АС • С1К = а√3 • l√3/2 = 3/2аl
BB1D1D - прямокутник
SBB1D1D = BD • B1B = a • l
SAA1C1C/SBB1D1D = 3/2al/al = 3/2.
∠BAD = 60°, ABCD - ромб, площина АА1С ⊥ ABCD, ∠С1СА = 60°.
Доведемо, що SАА1С1С : SBB1D1D = 3 : 2.
Нехай АВ = а, СС1 = l, тоді
ΔABD : BD = a, АО = аcos30° = а√3/2.
Отже, АС = 2АО = 2 • а√3/2 = а√3
Проведемо С1К - висота АА1С1С
Із ΔС1КС (∠К = 90°)
С1К = С1С sin∠С1СА = lsin60° = l√3/2
SАА1С1С = АС • С1К = а√3 • l√3/2 = 3/2аl
BB1D1D - прямокутник
SBB1D1D = BD • B1B = a • l
SAA1C1C/SBB1D1D = 3/2al/al = 3/2.