вправа 2.93 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.93
Умова:
Діагональ АС1 прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 утворює з площинами АВВ1 і ADD1 відповідно кути α і β. Знайдіть кут, який утворює АС1 із площиною ABC.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямокутний палалелепіпед (мал. 121),
∠С1АВ = α, ∠С1А1D1 = β.
Знайдемо ∠С1АС.
Нехай АС1 = а.
Із ΔАВ1С1 (∠В1 = 90°)
В1С1 = С1Аsin α - a sin α, ВС = В1С1.
Із ΔС1D1A (∠D1 = 90°)
C1D1 = a sin β, АВ = С1D,
ABCD - прямокутник, із ΔАВС
АС = √АВ2 + СВ2 = √a2sin2 β + а2sin2 α = а√sin2 β + sin2 α
Із ΔС1СА (∠С = 90°)
cos∠С1АС = АС/АС1
cos∠С1АС = (a√sin2β + sin2α)/а = √sin2 β + sin2 α.
Відповідь: cos∠С1АС = √sin2 β + sin2 α.
∠С1АВ = α, ∠С1А1D1 = β.
Знайдемо ∠С1АС.
Нехай АС1 = а.
Із ΔАВ1С1 (∠В1 = 90°)
В1С1 = С1Аsin α - a sin α, ВС = В1С1.
Із ΔС1D1A (∠D1 = 90°)
C1D1 = a sin β, АВ = С1D,
ABCD - прямокутник, із ΔАВС
АС = √АВ2 + СВ2 = √a2sin2 β + а2sin2 α = а√sin2 β + sin2 α
Із ΔС1СА (∠С = 90°)
cos∠С1АС = АС/АС1
cos∠С1АС = (a√sin2β + sin2α)/а = √sin2 β + sin2 α.
Відповідь: cos∠С1АС = √sin2 β + sin2 α.