вправа 2.94 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 2.94
Умова:
Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d і утворює з меншою бічною гранню кут α, а з площиною основи - кут φ. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.
Відповідь:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямокутний палалелепіпед (мал. 122),
B1D = d, ∠B1DC1 = α, ∠В1DВ = φ
Знайдемо Sбіч.
Sбіч. = Pl
Із ΔBB1D (∠В = 90°)
В1В = B1Dsin φ = dsin φ, BD = B1Dcos φ = dcos φ
Із ΔB1C1D (∠С1 = 90°)
В1С1 = B1D sin α = d sin α
Із ΔBCD (∠С = 90°)
ВС = В1С1 = d sin α
DC = √BD2 - BC2 = √d2cos2φ - d2sin2φ = d√cos2φ - sin2φ
Sбіч. = 2(ВС + DC) • BB1 = 2(dsin α + d√cos2 φ - sin2 α) • dsin φ = 2d2(sin α + √cos2 φ - sin2 α)sin φ.
Відповідь: 2d2(sin α + √cos2 φ - sin2 α)sin φ
B1D = d, ∠B1DC1 = α, ∠В1DВ = φ
Знайдемо Sбіч.
Sбіч. = Pl
Із ΔBB1D (∠В = 90°)
В1В = B1Dsin φ = dsin φ, BD = B1Dcos φ = dcos φ
Із ΔB1C1D (∠С1 = 90°)
В1С1 = B1D sin α = d sin α
Із ΔBCD (∠С = 90°)
ВС = В1С1 = d sin α
DC = √BD2 - BC2 = √d2cos2φ - d2sin2φ = d√cos2φ - sin2φ
Sбіч. = 2(ВС + DC) • BB1 = 2(dsin α + d√cos2 φ - sin2 α) • dsin φ = 2d2(sin α + √cos2 φ - sin2 α)sin φ.
Відповідь: 2d2(sin α + √cos2 φ - sin2 α)sin φ