вправа 3.101 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 3.101
У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 4 см, а плоский кут при вершині дорівнює 60°. Через одну із сторін основи перпендикулярно до протилежного бічного ребра проведено переріз. Знайдіть його площу.
Умова:
Відповідь:
Дано: правильна 3хкутна піраміда
АС = ВС = АВ = 4 см
∠CDB = 60°
переріз ⊥ AD
Знайти: Sпер.
За умовою площина ВСР ⊥ AD, => PC ⊥ AD, PB ⊥ AD
∠CDB = 60°, CD = DB = CB = 4 см
ΔАСР = ΔАВР (за катетом і гіпотенузою), => СР = ВР
РК ⊥ СВ
РК - висота і медіана
СК = КВ, => АК - висота і медіана
ΔАВК - рівносторонній
АК = (АС√3)/2 = 4√3/2 = 2√3 (см)
DO - проходить через центр кола, описаного навколо основи
АО = R = (АС√3)/3 = 4√3/3 (см)
DO2 = AD2 - АО2 з ΔАОD за теоремою Піфагора
DO2 = 42 - (4√3/3)2 = 16 - (16•3)/9 = 16 - 5 1/3 = 10 2/3 (см)
DO = √32/3 = √(16•2)/3 = 4√2/3 (см)
Розглянемо ΔAOD і ΔАКР
ΔDAK - спільний, трикутники є прямокутними,
=> ΔAOD ~ ΔAKP (за двома кутами)
АК/AD = PK/DO
PK = (AK•DO)/AD
РК = (2√3•4√2/3)/4 = 2√3•2/3 = 2√2 (см)
Sпер. = 1/2РК • СВ
Sпер. = 1/2 • 2√2 • 4 = 4√2 (см2)
Sпер. = 4√2 (см2).
Відповідь: Sпер. = 4√2 см2
Дано: правильна 3хкутна піраміда
АС = ВС = АВ = 4 см
∠CDB = 60°
переріз ⊥ AD
Знайти: Sпер.
За умовою площина ВСР ⊥ AD, => PC ⊥ AD, PB ⊥ AD
∠CDB = 60°, CD = DB = CB = 4 см
ΔАСР = ΔАВР (за катетом і гіпотенузою), => СР = ВР
РК ⊥ СВ
РК - висота і медіана
СК = КВ, => АК - висота і медіана
ΔАВК - рівносторонній
АК = (АС√3)/2 = 4√3/2 = 2√3 (см)
DO - проходить через центр кола, описаного навколо основи
АО = R = (АС√3)/3 = 4√3/3 (см)
DO2 = AD2 - АО2 з ΔАОD за теоремою Піфагора
DO2 = 42 - (4√3/3)2 = 16 - (16•3)/9 = 16 - 5 1/3 = 10 2/3 (см)
DO = √32/3 = √(16•2)/3 = 4√2/3 (см)
Розглянемо ΔAOD і ΔАКР
ΔDAK - спільний, трикутники є прямокутними,
=> ΔAOD ~ ΔAKP (за двома кутами)
АК/AD = PK/DO
PK = (AK•DO)/AD
РК = (2√3•4√2/3)/4 = 2√3•2/3 = 2√2 (см)
Sпер. = 1/2РК • СВ
Sпер. = 1/2 • 2√2 • 4 = 4√2 (см2)
Sпер. = 4√2 (см2).
Відповідь: Sпер. = 4√2 см2