вправа 3.115 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Умова:

Відповідь:



Дано: основа - ромб
АС = 20 см, BD = 15 см
SA = 9 см, SA ⊥ (ABCD)
Знайти: S_п.п
S_п.п = 2 • S_ΔABD + 2_SΔDSC
SA ⊥ (ABCD, => ΔASD = ΔASB)
SD = SC = SB, => ΔSDC = ΔSBC
S_ΔASD = 1/2SA • AD
Розглянемо ΔАОВ
BD ⊥ AC, => ΔАОВ - прямокутний
АО = ОС = АС/2 = 20/2 = 10 см
ВО = OD = BD/2 = 15/2 = 7,5 см
За теоремою Піфагора знаходимо АВ:
АВ² = АО² + ВО²
АВ² = 10² + 7,5² = 100 + 56,25 = 156,25
АВ = √156,25 = 12,5
АВ = 12,5 (см)
S_ΔASD = 1/2 • 9 • 12,5 = 56,25 (см²)
Знаходимо SD:
SD² = SA² + AD²
SD² = 9² + 12,5² = 81 + 156,25 = 237,25
SD² = 237,25
В ΔSDC SP - медіана, висота
DP = PC = DC/2 = 12,5/2 = 6,25 (см)
За теоремою Піфагора знаходимо SP з ΔDSP:
SP² = SD² - DP²
SP² = 237,25 - 6,252 = 237,25 - 39,0625
SP² = 198,1875
SP = 14,08 (см²)
S_ΔSDC = 1/2 • SP • DC
S_ΔSDC = 1/2 • 14,08 • 12,5 = 88 см
S_п.п = 2 • 56,25 + 2 • 88 = 112,5 + 176 = 288,5 (см²)
Відповідь: S_п.п = 288,5 см²