вправа 3.41 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 3.41
Умова:
У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює 4√3 см і утворює із площиною основи кут 60°. Знайдіть площу основи піраміди та її апофему.
Відповідь:
Нехай SABCD - правильна трикутна піраміда,
SK - апофема, ΔABC - основа,
SO - висота, SA = 4√3 см, ∠SAO = 60°.
Знайдемо SАВС, SK (мал. 145)
Із ΔSOA (∠О = 90°)
∠ASO = 90° - 60° = 30°, тоді
АО = 1/2 АС = 1/2 4√3 = 2√3 (см)
АВ = R - радіус описаного кола навколо ΔАВС.
Так як R = а/√3 в рівносторонньому трикутнику, то АО = АС/√3, звідки
АС = АО√3 = 2√3 • √3 = 6 (см)
SΔАВС = 1/2АС2 • sin60° = 1/2 62 • sin60° = 36/2 • √3/2 = √3 (см2)
ΔASC - рівнобедренний, тому SK - висота, медіана,
АК = 1/2АС = 1/2 • 6 = 3 (см)
Із ΔAKS (∠К = 90°)
KS = √SA2 - AK2 = √48 - 9 = √39 (см).
SK - апофема, ΔABC - основа,
SO - висота, SA = 4√3 см, ∠SAO = 60°.
Знайдемо SАВС, SK (мал. 145)
Із ΔSOA (∠О = 90°)
∠ASO = 90° - 60° = 30°, тоді
АО = 1/2 АС = 1/2 4√3 = 2√3 (см)
АВ = R - радіус описаного кола навколо ΔАВС.
Так як R = а/√3 в рівносторонньому трикутнику, то АО = АС/√3, звідки
АС = АО√3 = 2√3 • √3 = 6 (см)
SΔАВС = 1/2АС2 • sin60° = 1/2 62 • sin60° = 36/2 • √3/2 = √3 (см2)
ΔASC - рівнобедренний, тому SK - висота, медіана,
АК = 1/2АС = 1/2 • 6 = 3 (см)
Із ΔAKS (∠К = 90°)
KS = √SA2 - AK2 = √48 - 9 = √39 (см).