вправа 3.42 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

 
Вправа 3.42
 
Умова:
 
У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 5√2 см і утворює із площиною основи кут 45°. Знайдіть площу основи піраміди та її апофему.
 
 
Відповідь:
 
вправа 3.42 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
 
Нехай SABCD - правильна піраміда, ABCD - основа,
SC = 5√2 см, ∠SCO =
45°.
Знайдемо SABCD, SK - апофему (мал. 146)

Із ΔSOC (∠О = 90°)
ОС = SCcos∠SCO = 5√2 cos45° = 5√2 • √2 = 5 (см).
Тоді АС = 2 • ОС = 2 • 5 = 10 (см).
Так як ABCD - квадрат, то
SABCD = 1/2АС • BD = 1/2AC2 = 1/2 100 = 50 (cм2)
ΔSCD - рівнобедренний, SK - висота, медіана.
Із ΔACD (∠D = 90°)
АС2 = DC2 + AD2
AC2 = 2DC2 =>
DC = AC/√2; DC = 10/√2, тоді КС = 1/2DC = 5/√2 (см)
Із ΔSCK SK = √SC2 - KC2
SK = √(5√2)2 - (5/√2)2 = √50 - 25/2 = √75/2 = 5√3/2 = 2,5√6 (см).
Відповідь: SABCD = 50 см2, SK = 2,5√6 см