вправа 3.57 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 3.57
У правильній трикутній піраміді QABC сторона основи дорівнює 8 см, а апофема - 3 см. Через пряму АВ проведено переріз перпендикулярно до ребра QC. Знайдіть площу цього перерізу.
Умова:
Відповідь:
Дано
QABC - правильна 3хкутна піраміда
AB = 8 см, QM = - апофема, QM = 3 см
Знайти Sпер.
Розв'язання
За умовою переріз, який проведено через пряму АВ
перпендикулярен до ребра QC, AP ⊥ QC, PB ⊥ QC.
ΔСАР = ΔСВР (за катетом і гіпотенузою), => АР = ВВ.
Проведемо РМ ⊥ АВ.
Так як ΔAQB - рівнобедрений, РМ - є висотою і медіаною,
=> АМ = МВ, тому МС - висота і медіана ΔАВС.
Так як ΔАВС - рівносторонній, МС = (АВ√3)/2 = (8√3)/2 = 4√3
СМ = 4√3 (см)
Висота QO проходить через центр кола, описаного навколо основи
СО = R = (АВ√3)/3 = 8√3/3
МС = МО + ОС
МО = 4√3 - (8√3)/3 = (12√3 - 8√3)/3 = 4√3/3
З ΔOM за теоремою Піфагора знаходимо QO
QO2 = MQ2 - MO2
QO2 = 32 - (4√3/3)2 = 9 - 163/9 = 9 - 16/3 = (27-16)/3 = 11/3
QO = √11/3
Розглянемо ΔCOQ і ΔСМР, які є прямокутними, ∠QCM - спільний, =>
ΔCOQ ~ ΔСМР за двома кутами, тоді:
СМ/CQ = РМ/QO
РМ = (СМ•QO)/CQ
З ΔCOD
CQ2 = CO2 + QO2
CQ = √(8√3/3)2+(√11/3)2 = √643/9+11/3 = √64/3+11/3 = √75/3 = √25 = 5 (см)
СQ = 5 см
РМ = 4√3 • √11/3 : 5 = 4√(3•11)/3 : 5 = 4√11/5
Sпер. = 1/2 • РМ • АВ
Sпер. = 1/2 • 4√11/5 • 8 = (16√11)/5 = 3,2√11 (см2)
Відповідь: 3,2√11 см2
Дано
QABC - правильна 3хкутна піраміда
AB = 8 см, QM = - апофема, QM = 3 см
Знайти Sпер.
Розв'язання
За умовою переріз, який проведено через пряму АВ
перпендикулярен до ребра QC, AP ⊥ QC, PB ⊥ QC.
ΔСАР = ΔСВР (за катетом і гіпотенузою), => АР = ВВ.
Проведемо РМ ⊥ АВ.
Так як ΔAQB - рівнобедрений, РМ - є висотою і медіаною,
=> АМ = МВ, тому МС - висота і медіана ΔАВС.
Так як ΔАВС - рівносторонній, МС = (АВ√3)/2 = (8√3)/2 = 4√3
СМ = 4√3 (см)
Висота QO проходить через центр кола, описаного навколо основи
СО = R = (АВ√3)/3 = 8√3/3
МС = МО + ОС
МО = 4√3 - (8√3)/3 = (12√3 - 8√3)/3 = 4√3/3
З ΔOM за теоремою Піфагора знаходимо QO
QO2 = MQ2 - MO2
QO2 = 32 - (4√3/3)2 = 9 - 163/9 = 9 - 16/3 = (27-16)/3 = 11/3
QO = √11/3
Розглянемо ΔCOQ і ΔСМР, які є прямокутними, ∠QCM - спільний, =>
ΔCOQ ~ ΔСМР за двома кутами, тоді:
СМ/CQ = РМ/QO
РМ = (СМ•QO)/CQ
З ΔCOD
CQ2 = CO2 + QO2
CQ = √(8√3/3)2+(√11/3)2 = √643/9+11/3 = √64/3+11/3 = √75/3 = √25 = 5 (см)
СQ = 5 см
РМ = 4√3 • √11/3 : 5 = 4√(3•11)/3 : 5 = 4√11/5
Sпер. = 1/2 • РМ • АВ
Sпер. = 1/2 • 4√11/5 • 8 = (16√11)/5 = 3,2√11 (см2)
Відповідь: 3,2√11 см2