вправа 3.66 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 3.66
У правильній чотирикутній піраміді діагональний переріз є прямокутним трикутником. Знайдіть відношення площі бічної поверхні до площі діагонального перерізу.
Умова:
Відповідь:
Дано: правильна 4х-кутна піраміда PABCD
ΔBPD - прямокутний
Знайти: Sбіч./Sпер.
Розглянемо ΔBPD.
За умовою він прямокутний.
В ньому ВР = PD => ΔBPD - прямокутно рівнобедрений, => ∠PBD = ∠PDB = 45°
SΔBPD = 1/2BD • PDsin45° = 1/2BD • PD • √2/2 = √2/4BD • PD
та SΔBPD = 1/2BD • PO
√2/42BD • PD = 1/2BD • PO
√2/2PD = PO
tg45° = РО/OD
1 = PO/OD => OD = PO
BD = 2 • PO
BD = 2 • √2/2PD
BD = √2PD
за теоремою Піфагора:
3DC2 = BD2
DC2 = BD2/2
DC = √((√2)2PD)/2
DC = √(2•PD2)/2 = PD√2/2
Розглянемо ΔDPC
DK = KC = DC/2 = (√2PD2)/2 : 2 = (PD√2)/4
За теоремою Піфагора:
РК2 = PD2 - DK2
PK2 = PD2 - (√2PD2)/4)2
РК2 = PD2 - (2PD2)/(4•4) = PD2 - PD2/8
PK = √PD-(PD2/8) = √7/8PD2 = PD√7/8
cos∠РКО = ОК/РК, ОК = DC/2
cos∠РКО = (√2PD2)/4 : √PD2-(PD2/8) = (√2PD2)/(4•√PD2-(PD2/8)) =
= (PD√2)/(4PD√7/8) = √2/(4•√7/8) = 1/√7
Sосн. = DC2 = (√2•PD2)/2)2 = 2PD2/42
Sбіч. = Sосн./cos∠РКО
Sбіч. = 2PD2/(4√7) = 2√7/4PD2
Sбіч./Sпер. = (2√7•PD2)/(4•√2/4BD•PD) = (2√7•PD)/(√2•√2•PD) = √7.
Дано: правильна 4х-кутна піраміда PABCDΔBPD - прямокутний
Знайти: Sбіч./Sпер.
Розглянемо ΔBPD.
За умовою він прямокутний.
В ньому ВР = PD => ΔBPD - прямокутно рівнобедрений, => ∠PBD = ∠PDB = 45°
SΔBPD = 1/2BD • PDsin45° = 1/2BD • PD • √2/2 = √2/4BD • PD
та SΔBPD = 1/2BD • PO
√2/42BD • PD = 1/2BD • PO
√2/2PD = PO
tg45° = РО/OD
1 = PO/OD => OD = PO
BD = 2 • PO
BD = 2 • √2/2PD
BD = √2PD
за теоремою Піфагора:
3DC2 = BD2
DC2 = BD2/2
DC = √((√2)2PD)/2
DC = √(2•PD2)/2 = PD√2/2
Розглянемо ΔDPC
DK = KC = DC/2 = (√2PD2)/2 : 2 = (PD√2)/4
За теоремою Піфагора:
РК2 = PD2 - DK2
PK2 = PD2 - (√2PD2)/4)2
РК2 = PD2 - (2PD2)/(4•4) = PD2 - PD2/8
PK = √PD-(PD2/8) = √7/8PD2 = PD√7/8
cos∠РКО = ОК/РК, ОК = DC/2
cos∠РКО = (√2PD2)/4 : √PD2-(PD2/8) = (√2PD2)/(4•√PD2-(PD2/8)) =
= (PD√2)/(4PD√7/8) = √2/(4•√7/8) = 1/√7
Sосн. = DC2 = (√2•PD2)/2)2 = 2PD2/42
Sбіч. = Sосн./cos∠РКО
Sбіч. = 2PD2/(4√7) = 2√7/4PD2
Sбіч./Sпер. = (2√7•PD2)/(4•√2/4BD•PD) = (2√7•PD)/(√2•√2•PD) = √7.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.