вправа 3.66 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Умова:

Відповідь:



Дано: правильна 4^х-кутна піраміда PABCD
ΔBPD - прямокутний
Знайти: S_біч./S_пер.
Розглянемо ΔBPD.
За умовою він прямокутний.
В ньому ВР = PD => ΔBPD - прямокутно рівнобедрений, => ∠PBD = ∠PDB = 45°
S_ΔBPD = 1/2BD • PDsin45° = 1/2BD • PD • √2/2 = √2/4BD • PD
та S_ΔBPD = 1/2BD • PO
√2/42BD • PD = 1/2BD • PO
√2/2PD = PO
tg45° = РО/OD
1 = PO/OD => OD = PO
BD = 2 • PO
BD = 2 • √2/2PD
BD = √2PD
за теоремою Піфагора:
3DC² = BD²
DC² = BD²/2
DC = √((√2)2PD)/2
DC = √(2•PD²)/2 = PD√2/2
Розглянемо ΔDPC
DK = KC = DC/2 = (√2PD²)/2 : 2 = (PD√2)/4
За теоремою Піфагора:
РК² = PD² - DK²
PK² = PD² - (√2PD²)/4)²
РК² = PD² - (2PD²)/(4•4) = PD² - PD²/8
PK = √PD-(PD²/8) = √7/8PD² = PD√7/8
cos∠РКО = ОК/РК, ОК = DC/2
cos∠РКО = (√2PD²)/4 : √PD²-(PD²/8) = (√2PD²)/(4•√PD²-(PD²/8)) =
= (PD√2)/(4PD√7/8) = √2/(4•√7/8) = 1/√7
S_осн. = DC² = (√2•PD²)/2)² = 2PD²/42
S_біч. = S_осн./cos∠РКО
S_біч. = 2PD²/(4√7) = 2√7/4PD²
S_біч./S_пер. = (2√7•PD²)/(4•√2/4BD•PD) = (2√7•PD)/(√2•√2•PD) = √7.