вправа 3.83 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Умова:

Відповідь:



Дано: правильна зрізана 4^хугольна піраміда
АВ = 8 см, А₁В₁ = 4 см
∠Р₁РМ = 45°
Знайти: А₁А
Проведемо ОР ⊥ ВС і О₁Р₁ ⊥ В₁С₁.
З т. Р₁ проводимо Р₁М ⊥ ОР.
За теоремою про три перпендикуляри Р₁Р ⊥ РС.
Вісь правильної зрізаної піраміди збігається з віссю повної піраміди.
ОО₁ - висота зрізаної піраміди
О і О₁ - центри кіл, вписаних в основи
О₁Р₁ - А₁В₁/2 = 4/2 = 2 (см)
ОР = АВ/2 = 8/2 = 4 (см)
Розглянемо трапецію ОО₁Р₁Р.
Проводимо висоту Р₁М.
Розглянемо ΔР₁МР.
В ньому ∠Р₁РМ = 45°, => ∠МР₁Р = 45° - ΔР₁МР -
прямокутно-рівнобедрений, => МР = Р₁М
МР = ОР - О₁Р₁
МР = 4 - 2 = 2 (см)
=> Р₁М = 2 см, => О₁О = 2 см.
З т. А₁ та т. С₁ опустимо перпендикуляр на основу.
А₁N та C₁N₁ - висоти зрізаної піраміди
ΔАА₁N = ΔCC₁N₁ (за катетом і гіпотенузою), => AN = N₁C.
Бічне ребро АА₁ визначаємо за теоремою Піфагора
АА₁² = AN² + A₁N²
2AN = AC - A₁C₁
Знаходимо АС за теоремою Піфагора з ΔАВС
АС² = АВ² + ВС²
АВ = ВС
АС² = 2АВ²
АС = √2•82 = √2•64 = 8√2 (см)
А₁С₁ за теоремою Піфагора з ΔА₁В₁С₁
А₁С₁² = 2 • А₁В₁²
А₁С₁ = √2•4² = √2•16 = 4√2 (см)
отже, AN = (АС-А₁С₁)/2 = (8√2-4√2)/2 = 4√2/2 = 2√2
АА₁² = (2√2)² + 2²
АА₁² = 8 + 4
АА₁ = √12 = 2√3 (см).
Відповідь: АА₁ = 2√3 см