вправа 3.93 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Умова:

Відповідь:



Дано: правильна 4^хкутна піраміда
∠А₁СА₃ = 120°
Знайти: ∠DPO
В піраміді А₁С ⊥ DA₂; Со ⊥ А₁А₃.
В ΔА₁СА₃ ∠С = 120°, А₁С = А₃С₁, => ∠СА₁А₃ = ∠СА₃А₁ = 30°
А₁О/СО = ctg30°
СО = А₁О/ctg30°
СО = А₁О/√3
А₁О = СО • ctg30°
А₁О = СО • √3
А₁О = R = (А₁А₂•√2)/2
tg∠DА₂О = СО/R з ΔСОА₂
tg∠DA₂O = А₁О/√3 : (А₁А₂√2)/2 = А₁О/√3 • 2/(А₁А₂√2) =
= 2R/(А₁А₂√6) = (2А₁А₂√2)/2 • 1/(√3А₁А₂√2) = 1/√3 => ∠DA₂O = 30°
r = 1/2А₁А₂ = ОР
А₁А₂ = 2R/√2
r = 1/2 • 2R/√2 = R/√2
tg30° = DO/r
DO = rtg30° = √3/3 r
З ΔDOP:
DO/OP = tg∠DPO
tg∠DPO = (√3/3 r)/r = √3/3 => 30° = ∠DРО
∠DРО = 30°