вправа 4.21 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 4.21
Площі поверхонь правильного тетраедра і октаедра між собою рівні. Доведіть, що ребро тетраедра дорівнює діагоналі октаедра.
Умова:
Відповідь:
Нехай а - довжина ребра тетраедра, b - довжина ребра октаедра, S - площа тетраедра і октаедра.
Тоді для тетраедра:
S = 4SΔ = 4 • (а√3)/4 = а√3, звідси
а2 = S/√3.
Для октаедра:
S = 8 • (b2√3)/4 = 2b2√3, звідки
b2 = S/2√3
Так, як діагональ d октаедра
d2 = 2b2 = 2 = S/2√3, то
d2 = а2, або d = а (d - діагональ октаедра, а - ребро тетраедра).
Нехай а - довжина ребра тетраедра, b - довжина ребра октаедра, S - площа тетраедра і октаедра.
Тоді для тетраедра:
S = 4SΔ = 4 • (а√3)/4 = а√3, звідси
а2 = S/√3.
Для октаедра:
S = 8 • (b2√3)/4 = 2b2√3, звідки
b2 = S/2√3
Так, як діагональ d октаедра
d2 = 2b2 = 2 = S/2√3, то
d2 = а2, або d = а (d - діагональ октаедра, а - ребро тетраедра).