вправа 4.25 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 4.25
1) Доведіть, що центри граней куба є вершинами октаедра.
2) Знайдіть ребро октаедра, якщо ребро куба дорівнює а.
3) Знайдіть площу поверхні октаедра.
2) Знайдіть ребро октаедра, якщо ребро куба дорівнює а.
3) Знайдіть площу поверхні октаедра.
Умова:
Відповідь:
1) Нехай ABCDA1B1C1D1 - куб,
АВ1 ∩ А1В = Е, В1С ∩ ВС1 = F, C1D ∩ D1C = K,
A1D ∩ AD1 = L, A1C1 ∩ B1D1 = S1, AC ∩ BD = S.
Точки E, F, K, L, S1, S - середини відповідних граней АА1В1В, ВВ1С1С, СС1D1D, AA1D1D, A1B1C1D1, ABCD.
Тоді площина проведена через точки E, F, K, L паралельна площинам АВС і А1В1С1.
Проведемо L1L║DD1, тоді ΔL1DK1 - прямокутний (∠D = 90°), L1 і K1 - середини АD і DС відповідно.
Тоді L1K1 - середня лінія ΔАСD.
LK = L1K1 = 1/2AC.
Аналогічно доводимо, що EF = 1/2AC.
Проведемо ЕЕ1║АА1, LL1║AA1, тоді E1L1 - середня лінія ΔABD, E1L1 = 1/2BD.
Тоді EL = E1L1 = 1/2BD.
Аналогічно доводимо, що FK = 1/2BD.
Так, як ABCD - квадрат, то АС = BD, а отже LK = EF = EL = FK, тобто EFKL - квадрат.
Проведемо SS1, тоді SS1 ┴ EFKL, SS1 ∩ EFKL = О, ΔSOE = ΔSOF = ΔSOK = ΔSOL
(SO - спільний катет, OE = OF = OK = OL - половина діагоналей квадрата EFKL).
Тоді SE = SF = SK = SL
2) Нехай АВ = а - ребро куба, тоді
АС = а√2, LK = 1/2АС = а√2/2 - ребро октаедра.
3) S - площа поверхні окаедра, тоді
S = 8 • SΔSLK = 8 • (LK2√3)/4
S = 2 • (а√2)/2)2 • √3 = а2√3.
Відповідь: 2) а√2/2; 3) а2√3