вправа 4.27 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 4.27
У якому відношенні ділить висоти правильного тетраедра точка їхнього перетину?
Умова:
Відповідь:
Нехай SABCD - правильнй тетраедр, SM і ВК - висоти тетраедра, SM ∩ ВК = O.
Знайдемо ВО : ОК.
Нехай BD - висота ΔАВС, SD - висота ΔASC, тоді ΔSDB - рівнобедрений.
SD = DB = R - радіус описаного кола навколо ΔАВС,
MD = KD = r - радіус кола, вписаного в ΔАВС, тоді
SD = BD = R + r
Нехай а - сторона тетраедра, тоді
SD = BD = R + r = а/√3 + а/2√3 = 3а/2√3
ΔDMK ~ ΔDBS (за двома кутами), тоді
SB/MK = BD/MD = (R+r)/r
ΔМОК ~ ΔBOS (за двома кутами), тоді
ВО/ОК = SB/MK = (R+r)/r
ВО/ОК = 3а/2√3 • 2√3/а = 3.
Відповідь: ВО/ОК = 3/1