вправа 5.64 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 5.64
Дві вершини прямокутника, сторони якого відносяться як 1 : 4, належать одному з кіл основи циліндра, а дві інші - іншому колу. Знайдіть площу прямокутника, якщо радіус основи циліндра дорівнює 13 см, а висота - 32 см.
Умова:
Відповідь:
Нехай дано циліндр, ABCD - вписаний прямокутник.
Проведемо АА1 і ВВ1, AA1║ВВ1 - твірні циліндра.
А1В1CD - прямокутник.
Із ΔАА1D (∠А = 90°)
А1D2 = AD2 - AA12
Із ΔB1A1D (∠А = 90°)
B1D2 = A1B12 + A1D2 = A1B12 + AD2 - AA12.
З іншого боку B1D = 2R - діаметр кола.
B1D = 2 • 13 = 26 (см), отже маємо рівняння:
А1В12 + AD2 - AA12 = 676.
1) Нехай АВ : AD = 1 : 4, тоді А1В1 = АВ = х, AD = 4х, маємо
х2 + 16х2 - 322 = 676
12х2 = 17000
х2 = 100
х = 10
АВ = 10 см, AD = 40 см, SABCD = 10 • 40 = 400 (см2).
2) Нехай AD = АА1 = 32 (см), тоді
АВ = 1/4AD = 1/4 • 32 = 8 (см)
SABCD = 32 • 8 = 256 (см2).
Відповідь: 400 см2 або 256 см2