вправа 6.63 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 6.63
Радіус основи конуса дорівнює R, а твірна нахилена до площини основи під кутом α. Через вершину конуса проведено площину під кутом φ до його висоти. Знайдіть площу перерізу, що при цьому утворився.
Умова:
Відповідь:
Нехай Q - вершина, QО - висота конуса.
Проведемо площину через вершину Q
під кутом φ до QО, тоді ΔАОВ - переріз.
QК - висота ΔАQВ, тоді ∠ОQК = φ, ∠ОВQ = α, ОВ = R.
Знайдемо SΔАВQ.
Із ΔОВQ (∠QОВ = 90°)
QВ = ОВ/cosα = R/cosα
QО = ОВtgα = Rtgα
Із ΔОQК (∠QОК = 90°)
QК = tg = Rtg
QК = QО : cosφ = Rtgα/cosφ
Із ΔQКВ (∠QКВ = 90°)
КВ = √QВ2-QК2
КВ = √(R/cosα)2-(Rtgα/cosφ)2 =
= √(R/cos2α)-((R2tg2α)/(cos2φ))
АВ = 2КВ = 2√(R2/cos2α)-((R2tg2α)/(cos2φ))
SΔАQВ = 1/2АВ • QК = 1/2 • 2√(R2/cos2α)-((R2tg2α)/(cos2φ)) • Rtgα/cosφ =
= R2(cos2φ-sin2φ) / (cos2αcos2φ) • Rtgα/cosφ =
= (R2sinα√cos2φ-sin2α) / (cos2αcos2φ).
Відповідь: (R2sinα√cos2φ-sin2α) / (cos2αcos2φ)