вправа 8.61 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 8.61
У якому відношенні (рахуючи від вершини) центр кулі, вписаної у правильний тетраедр, ділить його висоту.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
Нехай куля вписана в правильний тетраедр, т. О - центр кулі.
ОК = OL - радіус вписаної кулі.
QМ - апофема, QК - висота піраміди.
Так, як т. О є точкою перетину бісекторних площин,
то ОМ - бісектриса ∠QМК.
Тоді ОМ - бісектриса ΔQМК.
Нехай а - сторона тетраедра, тоді
МQ = √а2-(а2:4) = √а2 : 4 = (а√3) : 2
МК = а : (2√3) - радіус кола вписаного в ΔАВС.
За властивістю бісектриси трикутника
МQ/МК = ОQ/ОК
ОQ/ОК = (а√3/2) : (а/2√3)
Q/ОК = а√3/2 • 2√3/а
ОQ/ОК = 3/1
Отже, центр кулі вписаної в правильний тетраедр ділить
його висоту у відношенні 3 : 1 рахуючи від вершини тетраедра.
Відповідь: 3 : 1