вправа 8.74 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 8.74
Площа основи правильної шестикутної піраміди дорівнює 3√3 : 2 см2, а кут між апофемою і висотою піраміди - 30°. Знайдіть радіус кулі, вписаної в піраміду.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
Нехай в шестикутну правильну піраміду вписана куля, тоді центр кулі буде
співпадати з центром кола вписаного в рівнобедрений ΔАQВ,
бічними сторонами якого є апафема піраміди, а основа дорівнює 2r6,
де r6 - радіус вписаного кола в шестикутник.
Нехай S6 = 3√3 : 2 см2 - площа основи піраміди.
r6 - радіус вписаного кола в основу піраміди,
а6 - сторона основи піраміди,
а3 - сторона ΔАQВ
r3 - радіус вписаного кола в ΔАQВ.
а6 = 2S : 3√3, тоді а6 = (2•3√3) : (2•3√3) = 1 (см)
r6 = √3 : 2
а6 = √3 : 2 (см)
а3 = 2r6 = 2 • √3/2 = √3 (см)
Так, як ∠АQО1 = 30°, то ∠АQВ = 60°
(ΔАQВ - рівнобедрений, тому QО1 - висота, бісектриса, медіана).
Тоді ΔАQВ - рівносторонній, отже
r3 = а3 : (2√3) = √3 : (2√3) = 1 : 2 = 0,5 (см)
отже, радіус кола, вписаного в ΔАQВ
r3 = 0,5 (см), тому і радіус сфери вписаної в піраміду
R = r3 = 0,5 (см)
Відповідь: 0,5 см