вправа 8.85 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 8.85
Радіуси кіл, описаних навколо основи та бічної грані правильної чотирикутної піраміди, відповідно дорівнюють 4 см і 3 см. Знайдіть радіус кулі, описаної навколо піраміди.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
Розглянемо правильну піраміду QABCD, вписану в кулю.
Нехай rбіч. - радіус описаного кола бічної піраміди,
rосн. - радіус кола, описаного навколо основи піраміди.
rбіч. = 3 (см), rосн. = 4 (см), ОD = rосн. = 3 см
Знайдемо R - радіус кулі, описаной навколо піраміди.
Нехай а - сторона основи паріміди, тоді
rосн. = а√2 : 2
а√2 : 2 = 4, звідки а = 4√2 см
Розглянемо ΔQСD:
О1D = О1Q = rбіч.
QL = O1Q + O1L.
Знайдемо О1L із ΔОLD:
О1L = √О1D2-LD2
LD = 1/2 а = 1/2 • 4√2 = 2√2 (см)
О1L = √32-(2√2)2 = 1 (см), тоді
QL = 1 + 3 = 4 см
ОL = 1/2 а = 1/2 • 4√2 = 2√2 (см)
Із ΔQОL (∠QОL = 90°)
ОQ = √QL2-ОL2
ОQ = √42-(2√2)2 = √8 (см)
ОQ = Н = √8 см - висота піраміди, тоді радіус
кулі описаної навколо піраміди
R = (r2осн.+Н2) : 2Н
R = (42+√82) : (2•√8) = 24 : 4√2 = 6 : √2 = 3√2 (см).
Відповідь: 3√2 см