вправа 8.92 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 8.92
У сферу, радіус якої - 2 см, вписано правильну шестикутну призму. Радіус сфери, проведений у вершину призми, утворює з площиною бічної грані кут 30°. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
Нехай навколо правильної призми ABCDA1B1C1D1
описано кулю, т. О - центр кулі,
R = 2 см - радіус кулі (R = АО), ∠ОАВ1 = 30°.
Знайдемо Sбіч. призми.
Із ΔОКА (∠ОКА = 90°),
КО = 1/2 АО = 1/2 R = 1/2 • 2 = 1 (см)
АК = АО • cos∠ОАК = АО • cos30° = 2 • √3/2 = √3
Нехай ОК = r6 - радіус вписаного кола в основу
призми, тоді сторона призми:
АВ = (2•ОК) : √3 = (2•1) : √3 = 2 : √3 (см)
Із ΔАВВ1 (∠АВВ1 = 90°)
ВВ1 = √АВ12-АВ2
АВ1 = 2 • АК = 2 • √3 (см), тоді
ВВ1 = √(2√3)2-(2/√3)2 = √32/3
Sбічне = Росн. • ВВ1 = 6 • АВ • ВВ1 =
= 6 • 2/√3 • √32/3 = (12•4√2) : 3 = 16√2 (см2).
Відповідь: 16√2 см2