вправа 8.95 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 8.95
У правильну піраміду, площа основи якої дорівнює 75√3 см2, вписано кулю. Косинус двогранного кута при основі дорівнює 8/17. Знайдіть радіус кулі.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
Нехай в правильну трикутну піраміду QАВС вписано кулю,
т. О - центр кулі, т. М - точка дотику, центр кола вписаного в ΔАВС,
МК - радіус цього кола.
Знайдемо ОК - радіус кулі вписаної в QАВС.
Знайдемо КМ2 = S : 3√3
√(75√3) : (3√3) = 5 (см)
За умовою cos∠QКМ = 8/17
Так, як ОК - радіус кулі, вписаної в піраміду,
то ОК - бісектриса ∠QКМ,
тоді ∠ОКМ = 1/2 ∠QКМ.
Нехай ∠QКМ = 2, тоді ∠ОКМ = α/2
Із ΔОКМ (∠ОКМ = 90°)
ОМ = КО • tg α/2
Знайдемо tg α/2 із формули:
tg2 α/2 = (1-cosα) : (1+cosα)
tg α/2 = √(1-8/17) : (1+8/17) = √9 : 25 = 3 : 5
Тоді ОМ = 5 • 3/5 = 3 (см)
ОМ = ОК = 3 (см) - радіус сфери.
Відповідь: 3 см