вправа 8.97 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 8.97
У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 8 см, а бічне ребро - 8,5 см. Знайдіть радіус кулі, вписаної в піраміду.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
Нехай в правильну піраміду QABCD вписана
куля з центром в т. О, НО1 - висота піраміди,
QL - апафема.
Знайдемо ОL - радіус кулі.
АС = АВ√2 = 8√2 (см)
АО1 = 1/2 АС = 1/2 • 8√2 = 4√2 (см)
Із ΔАО1Q (∠АО1Q = 90°)
О1Q = √АQ2-АО12
О1Q = √8,52-(4√2)2 = √161/2
О1L = 1/2 АВ = 1/2 • 8 = 4 (см)
Із ΔАQL (∠АQL = 90°)
QL = √АQ2-АL2 = √8,52-42 = 7,5 (см)
Проведемо ОМ ┴ QL, тоді
ОМ = ОО1 = R - радіус кулі вписаної в піраміду.
ΔQMO ~ ΔQOL (за двома кутами), тоді
МО : О1L = ОQ : QL
ОQ = О1Q - ОО1 = √161/2 - R
R/4 = (√161/2 - R) / 7,5
7,5R = 2√161 - 4R
11,5R = 2√161
R = 4/23 √161 (см)
Відповідь: 4/23 √161 см