вправа 8.99 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 8.99
У правильній чотирикутній піраміді центри вписаної та описаної куль збігаються. Знайдіть плоский кут при вершині піраміди.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
Нехай QАBCD - правильна піраміда,
т. О - центр вписаної і описаної куль.
Знайдемо уголСQD - плоский кут при вершині.
Нехай QК - висота піраміди, QL - апофема,
ОD = ОQ - радіуси описаної кулі,
ОМ = ОК - радіуси вписаної кулі.
ΔОМQ = ΔОМD так, як
∠ОМQ = ∠ОМD = 90°, ОМ - спільний катет,
ОQ = ОD - радіуси описаної кулі, тоді МD = МQ.
Отже, ΔQМD - рівнобедрений,
нехай ∠QDМ = ∠DQМ = α
МL = LК як відрізки дотичних, проведених із т. L до вписаної сфери.
Так, як LК = 1/2АD, то МL = LК = 1/2 АВ
Крім того, DL = 1/2 DС = 1/2 АВ
Тоді МL = DL, отже ΔМLD - рівнобедрений, прямокутний.
Тоді ∠DМL = ∠МDL = 45°
Розглянемо ΔQLD (∠QLD = 90°)
∠QDL + ∠DQL = 90°
∠QDL = ∠QDM + ∠MDL = α + 45°
Тоді α + 45° + α = 90°
2α = 45°, тоді ∠DQM = 45° : 2.
Так, як ΔDQC - рівнобедрений, то QL - бісектриса,
отже ∠SQD = 2 • ∠DQL = 2 • α = 45°.
Відповідь: 45°