вправа 9.103 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.103
Умова:
Основою похилого паралелепіпеда є квадрат зі стороною 8 см. Одне з бічних ребер паралелепіпеда дорівнює 4 см і утворює із суміжними сторонами основи кути по 60°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 - похилий паралелепіпед,
АВСD - квадрат, АВ = 8 см, СС1 = 4 см,
∠С1СD = ∠С1СВ = 60°.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
Проведемо С1О - висота паралелепіпеда,
С1К - висота бічної грані (∠С1КС = 90°).
Із ΔС1КС
СК = СС1 • cos∠С1СD = 4 • cos60° =
= 4 • 1/2 = 2 (см).
Точка О лежить на діагоналі куба АС,
тому ∠ОСК = 45°.
так, як С1К ┴ СD, то по теоремі про три
перпендикуляри ОК ┴ CD,
тоді ∠СКО = 90°, отже ∠СКО - прямокутний,
рівнобедрений, тоді СО = СК√2 = 2√2 (см).
Із ΔСОС1 (∠СОС1 = 90°) \begin{equation} C_{1}O=\sqrt{CC_{1}^{2}-CO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{4^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}(CM) \end{equation} АВСD - квадрат, тому площа
SАВСD = АВ2 = 82 = 64 (см2)
V = SАВСD • С1О = 64 • 2√2 = 128√2 (см3) -
об'єм паралелепіпеда.
Відповідь: 128√2 см3
Нехай АВСDА1В1С1D1 - похилий паралелепіпед,
АВСD - квадрат, АВ = 8 см, СС1 = 4 см,
∠С1СD = ∠С1СВ = 60°.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
Проведемо С1О - висота паралелепіпеда,
С1К - висота бічної грані (∠С1КС = 90°).
Із ΔС1КС
СК = СС1 • cos∠С1СD = 4 • cos60° =
= 4 • 1/2 = 2 (см).
Точка О лежить на діагоналі куба АС,
тому ∠ОСК = 45°.
так, як С1К ┴ СD, то по теоремі про три
перпендикуляри ОК ┴ CD,
тоді ∠СКО = 90°, отже ∠СКО - прямокутний,
рівнобедрений, тоді СО = СК√2 = 2√2 (см).
Із ΔСОС1 (∠СОС1 = 90°) \begin{equation} C_{1}O=\sqrt{CC_{1}^{2}-CO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{4^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}(CM) \end{equation} АВСD - квадрат, тому площа
SАВСD = АВ2 = 82 = 64 (см2)
V = SАВСD • С1О = 64 • 2√2 = 128√2 (см3) -
об'єм паралелепіпеда.
Відповідь: 128√2 см3