вправа 9.107 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.107
Умова:
Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d і утворює з однією гранню кут 30°, а з іншою - кут 45°. Знайдіть об'єм цього паралелепіпеда.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 - прямокутний паралелепіпед,
d - діагональ паралелепіпеда,
∠В1DС1 = 45°, ∠В1DВ = 30°.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
V = АВ • ВС • ВВ1
Із ΔВ1С1D (∠В1С1D = 90°)
∠DВ1С1 = ∠В1DС1 = 45°, тому \begin{equation} DC_{1}=B_{1}C_{1}=B_{1}D\cdot cos45^{\circ}=d\frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation} Із ΔВВ1D (∠ВВ1D = 90°) \begin{equation} BB_{1}=\frac{1}{2}B_{1}D=\frac{1}{2}d- \end{equation} за властивістю катета, що лежить
проти кута 30° в прямокутному трикутнику.
Із ΔDСС1 (∠DСС1 = 90°) \begin{equation} DC=\sqrt{DC_{1}^{2}-CC_{1}^{2}} \end{equation} Так, як \begin{equation} CC_{1}=BB_{1}=\frac{1}{2}d, \end{equation} то \begin{equation} DC=\sqrt{(\frac{d\sqrt{2}}{2})^{2}-(\frac{d}{2}^{2})}=\frac{d}{2}. \end{equation} Так, як \begin{equation} AB=DC=\frac{d}{2}, \end{equation} \begin{equation} BC=B_{1}C_{1}=\frac{d\sqrt{2}}{2}, \end{equation} то \begin{equation} V=\frac{d}{2}\cdot \frac{d\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{d}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{d^{3}\sqrt{2}}{8}- \end{equation} об'єм призми.
Відповідь: \begin{equation} \frac{d^{3}\sqrt{2}}{8}. \end{equation}
Нехай АВСDА1В1С1D1 - прямокутний паралелепіпед,
d - діагональ паралелепіпеда,
∠В1DС1 = 45°, ∠В1DВ = 30°.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
V = АВ • ВС • ВВ1
Із ΔВ1С1D (∠В1С1D = 90°)
∠DВ1С1 = ∠В1DС1 = 45°, тому \begin{equation} DC_{1}=B_{1}C_{1}=B_{1}D\cdot cos45^{\circ}=d\frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation} Із ΔВВ1D (∠ВВ1D = 90°) \begin{equation} BB_{1}=\frac{1}{2}B_{1}D=\frac{1}{2}d- \end{equation} за властивістю катета, що лежить
проти кута 30° в прямокутному трикутнику.
Із ΔDСС1 (∠DСС1 = 90°) \begin{equation} DC=\sqrt{DC_{1}^{2}-CC_{1}^{2}} \end{equation} Так, як \begin{equation} CC_{1}=BB_{1}=\frac{1}{2}d, \end{equation} то \begin{equation} DC=\sqrt{(\frac{d\sqrt{2}}{2})^{2}-(\frac{d}{2}^{2})}=\frac{d}{2}. \end{equation} Так, як \begin{equation} AB=DC=\frac{d}{2}, \end{equation} \begin{equation} BC=B_{1}C_{1}=\frac{d\sqrt{2}}{2}, \end{equation} то \begin{equation} V=\frac{d}{2}\cdot \frac{d\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{d}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{d^{3}\sqrt{2}}{8}- \end{equation} об'єм призми.
Відповідь: \begin{equation} \frac{d^{3}\sqrt{2}}{8}. \end{equation}