вправа 9.109 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.109
Умова:
Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 9 см і 13 см. Один з його діагональних перерізів рівновеликий основі, а другий має вдвічі більшу площу. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
Відповідь ГДЗ:
АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
АВ = 9 см, ВС = 13 см,
SВВ1D1D = SАВСD, SАА1С1 = 2SАВСD.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
АВСD - паралелеограм, тоді
2(АВ2 + ВС2) = АС2 + ВD2, звідки
АС2 + ВD2 = 2(92 + 132)
АС2 + ВD2 = 500
SВВ1D1D = ВD • h,
SАА1С1С = АС • h,
де h - висота паралелепіпеда, тоді \begin{equation} BD=\frac{S_{BB_{1}D_{1}D}}{h}=\frac{S_{ABCD}}{h} \end{equation} \begin{equation} AC=\frac{S_{AA_{1}C_{1}C}}{h}= \end{equation} \begin{equation} =2\frac{S_{ABCD}}{h}=2BD. \end{equation} Отже, (2BD)2 + BD2 = 500
4BD2 + BD2 = 500, звідки ВD = 10 (см).
Тоді, АС = 2ВD = 2 • 10 = 20 (см).
Із ΔABD \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2\cdot AB\cdot AD} \end{equation} Так, як AD = ВС = 13 см, то \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{9^{2}+13^{2}-10^{2}}{2\cdot 9\cdot 13}=\frac{75}{117} \end{equation}Тоді, \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-cos^{2}\angle BAD} \end{equation} \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-(\frac{75}{117})^{2}}=\frac{24\sqrt{14}}{117} \end{equation} SАВСD = АВ • АС • sin∠ВАD -
площа основи паралелепіпеда \begin{equation} h=\frac{S_{BB_{1}D_{1}D}}{BD}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{S_{ABCD}}{BD}=\frac{24\sqrt{14}}{10}=2,4\sqrt{14} \end{equation} \begin{equation} V=S_{ABCD}\cdot h= \end{equation} \begin{equation} =24\sqrt{14}\cdot 2,4\sqrt{14}=806,4(CM^{3})- \end{equation} об'єм паралелепіпеда.
Відповідь: 806,4 см3
АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
АВ = 9 см, ВС = 13 см,
SВВ1D1D = SАВСD, SАА1С1 = 2SАВСD.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
АВСD - паралелеограм, тоді
2(АВ2 + ВС2) = АС2 + ВD2, звідки
АС2 + ВD2 = 2(92 + 132)
АС2 + ВD2 = 500
SВВ1D1D = ВD • h,
SАА1С1С = АС • h,
де h - висота паралелепіпеда, тоді \begin{equation} BD=\frac{S_{BB_{1}D_{1}D}}{h}=\frac{S_{ABCD}}{h} \end{equation} \begin{equation} AC=\frac{S_{AA_{1}C_{1}C}}{h}= \end{equation} \begin{equation} =2\frac{S_{ABCD}}{h}=2BD. \end{equation} Отже, (2BD)2 + BD2 = 500
4BD2 + BD2 = 500, звідки ВD = 10 (см).
Тоді, АС = 2ВD = 2 • 10 = 20 (см).
Із ΔABD \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2\cdot AB\cdot AD} \end{equation} Так, як AD = ВС = 13 см, то \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{9^{2}+13^{2}-10^{2}}{2\cdot 9\cdot 13}=\frac{75}{117} \end{equation}Тоді, \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-cos^{2}\angle BAD} \end{equation} \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-(\frac{75}{117})^{2}}=\frac{24\sqrt{14}}{117} \end{equation} SАВСD = АВ • АС • sin∠ВАD -
площа основи паралелепіпеда \begin{equation} h=\frac{S_{BB_{1}D_{1}D}}{BD}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{S_{ABCD}}{BD}=\frac{24\sqrt{14}}{10}=2,4\sqrt{14} \end{equation} \begin{equation} V=S_{ABCD}\cdot h= \end{equation} \begin{equation} =24\sqrt{14}\cdot 2,4\sqrt{14}=806,4(CM^{3})- \end{equation} об'єм паралелепіпеда.
Відповідь: 806,4 см3