вправа 9.111 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.111
Умова:
Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 15 см і 16 см, а діагоналі - 92 см і 88 см. Знайдіть об'єм цього паралелепіпеда.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСDA1B1C1D1 - прямий паралелепіпед,
АВ = 15 см, ВС = 16 см,
В1D = 88 см, АС1 = 92 см.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
Нехай h - висота призми.
Із ΔВ1ВD (∠В1ВD = 90°)
ВD2 = В1D2 - ВВ12 =
= 882 - h2 = 7744 - h2.
Із ΔАСС1 (∠АСС1 = 90°)
АС2 = АС12 - СС12 =
= 922 - h2 = 8464 - h2
Із ΔАВСD за властивістю:
АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + ВС2)
7744 - h2 + 8464 - h2 =
= 2(152 + 162), звідки
h2 = 7623, h = 33√7 (см).
Тоді \begin{equation} BD=\sqrt{88^{2}-7623}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{121}=11(CM) \end{equation} Із ΔABD: \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2\cdot AB\cdot AD} \end{equation} \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{15^{2}+16^{2}-11^{2}}{2\cdot 15\cdot 16}=\frac{3}{4} \end{equation} \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-cos^{2}\angle BAD} \end{equation} \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \end{equation} Площа паралелограма АВСD:
SАВСD = АВ • АD • sin∠ВАD \begin{equation} S_{ABCD}=15\cdot 16\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}=60\sqrt{7}(CM)^{2} \end{equation} V = SАВСD • h = 60√7 • 33√7 = 13860 (см3) -
об'єм паралелепіпеда.
Відповідь: 13860 см3
Нехай АВСDA1B1C1D1 - прямий паралелепіпед,
АВ = 15 см, ВС = 16 см,
В1D = 88 см, АС1 = 92 см.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
Нехай h - висота призми.
Із ΔВ1ВD (∠В1ВD = 90°)
ВD2 = В1D2 - ВВ12 =
= 882 - h2 = 7744 - h2.
Із ΔАСС1 (∠АСС1 = 90°)
АС2 = АС12 - СС12 =
= 922 - h2 = 8464 - h2
Із ΔАВСD за властивістю:
АС2 + ВD2 = 2(АВ2 + ВС2)
7744 - h2 + 8464 - h2 =
= 2(152 + 162), звідки
h2 = 7623, h = 33√7 (см).
Тоді \begin{equation} BD=\sqrt{88^{2}-7623}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{121}=11(CM) \end{equation} Із ΔABD: \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2\cdot AB\cdot AD} \end{equation} \begin{equation} cos\angle BAD=\frac{15^{2}+16^{2}-11^{2}}{2\cdot 15\cdot 16}=\frac{3}{4} \end{equation} \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-cos^{2}\angle BAD} \end{equation} \begin{equation} sin\angle BAD=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \end{equation} Площа паралелограма АВСD:
SАВСD = АВ • АD • sin∠ВАD \begin{equation} S_{ABCD}=15\cdot 16\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}=60\sqrt{7}(CM)^{2} \end{equation} V = SАВСD • h = 60√7 • 33√7 = 13860 (см3) -
об'єм паралелепіпеда.
Відповідь: 13860 см3