вправа 9.113 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.113
Умова:
Основою прямої призми є рівнобічна трапеція, у яку можна вписати коло. Периметр цієї трапеції дорівнює 16 см, а гострий кут - 30°. Діагональ призми утворює з висотою призми кут 30°. Знайдіть об'єм призми.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 - пряма призма,
АВСD - трапеція, (АВ = СD),
в яку можна вписати коло, Р = 16 см,
∠ВВ1D = 30°, ∠ВАD = 30°.
Знайдемо V - об'єм призми.
Проведемо ВК і СМ - висоти АВСD.
Так, як в трапецію можна вписати коло, то
АВ + СD = ВС + АD
РАВСD = АВ + СD + ВС + АD =
= АВ + СD + АВ + СD = 4АВ
4АВ = 16, тоді АВ = 4 см.
Із ΔАКВ(∠АКВ = 90°)
АК = АВcos∠ВАD = \begin{equation} =4cos30^{\circ}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(CM) \end{equation} \begin{equation} BK=\frac{1}{2}AB=2(CM) \end{equation} ΔАВК = ΔDМС, тому
МD = АК = 2√3 см \begin{equation} AD+BC=\frac{1}{2}P, \end{equation} де Р - периметр ABCD
АD + ВС = 8
АD = АК + КМ + МD =
= 2√3 + 2√3 + КМ = 4√3 + КМ
ВС = КМ, тоді
АD + ВС = 4√3 + КМ + КМ =
= 4√3 + 2КМ
Отже, 4√3 + 2КМ = 8, звідки
КМ = 4 - 2√3
Тоді КD = КМ + МD =
= 4 - 2√3 + 2√3 = 4 (см)
Із ΔВКD (∠ВКD = 90°) \begin{equation} BD=\sqrt{KD^{2}+BK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}(CM) \end{equation} Із ΔВ1ВD (∠В1ВD = 90°)
ВВ1 = ВD : tg∠ВВ1D \begin{equation} BB_{1}=\frac{2\sqrt{5}}{tg30^{\circ}}=2\sqrt{15}(CM) \end{equation} \begin{equation} S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot BK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}2AB\cdot BK \end{equation} SАВСD = АВ • ВК
SАВСD = 2 • 4 = 8 (см2)
V = SАВСD • ВВ1
V = 8 • 2√15 = 16√15 (см3).
Відповідь: 16√15 см3
Нехай АВСDА1В1С1D1 - пряма призма,
АВСD - трапеція, (АВ = СD),
в яку можна вписати коло, Р = 16 см,
∠ВВ1D = 30°, ∠ВАD = 30°.
Знайдемо V - об'єм призми.
Проведемо ВК і СМ - висоти АВСD.
Так, як в трапецію можна вписати коло, то
АВ + СD = ВС + АD
РАВСD = АВ + СD + ВС + АD =
= АВ + СD + АВ + СD = 4АВ
4АВ = 16, тоді АВ = 4 см.
Із ΔАКВ(∠АКВ = 90°)
АК = АВcos∠ВАD = \begin{equation} =4cos30^{\circ}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(CM) \end{equation} \begin{equation} BK=\frac{1}{2}AB=2(CM) \end{equation} ΔАВК = ΔDМС, тому
МD = АК = 2√3 см \begin{equation} AD+BC=\frac{1}{2}P, \end{equation} де Р - периметр ABCD
АD + ВС = 8
АD = АК + КМ + МD =
= 2√3 + 2√3 + КМ = 4√3 + КМ
ВС = КМ, тоді
АD + ВС = 4√3 + КМ + КМ =
= 4√3 + 2КМ
Отже, 4√3 + 2КМ = 8, звідки
КМ = 4 - 2√3
Тоді КD = КМ + МD =
= 4 - 2√3 + 2√3 = 4 (см)
Із ΔВКD (∠ВКD = 90°) \begin{equation} BD=\sqrt{KD^{2}+BK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}(CM) \end{equation} Із ΔВ1ВD (∠В1ВD = 90°)
ВВ1 = ВD : tg∠ВВ1D \begin{equation} BB_{1}=\frac{2\sqrt{5}}{tg30^{\circ}}=2\sqrt{15}(CM) \end{equation} \begin{equation} S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot BK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}2AB\cdot BK \end{equation} SАВСD = АВ • ВК
SАВСD = 2 • 4 = 8 (см2)
V = SАВСD • ВВ1
V = 8 • 2√15 = 16√15 (см3).
Відповідь: 16√15 см3